Logica Y Geometria

DE QUE MODO EL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRIA CONTRIBUYE A LA FORMACION DEL PENSAMIENTO LOGICO

A partir de una serie de actividades, presentaremos una progresión del aprentizaje de las operaciones y relaciones lógicas, en el periodo que va del final de la escuela primaria al final del secundario básico.

Les mostraremos como en cada actividad el alumno, al mismo tiempo que aprende las propiedades geométricas, aprende a utilisar las operacionesy relaciones lógicas usuales que le permiten descubrir y validar otras afirmaciones de la geometria.

Autor : Dr Ruben Rodriguez Herrera

IUFM de Basse-Normandie, IREM de Basse-Normandie,Université de Caen, Francia

ruben.rodriguez@caen.iufm.fr

Nivel educativo: final de la primaria al final de la secundaria básica

El objetivo mas importante de la enseñanza de la matemática a ese nivel, es que nuestros alumnos integren el hecho que las propiedades, teoremas, formulas han sido creadas para anticipar un resultado, ya sea porque no tenemos un medio experimental directo de encontrarlo o bien, porque queremos confirmarlo dentro del modelo adecuado. Lo mismo ocurre con la lógica. Los alumnos deben integrar que: las relaciones usuales de la lógica han sido creadas para anticipar, validar, descubrir propiedades, dentro de un universo determinado de conocimiento. El alumno debe progresivamente ir construyendo la transitividad, la implicación, la negación, la reciprocación, la conjunción, la disjunción, la contraposición, y también el caracter necesario y suficiente de las propiedades. Un ejemplo: la transitividad del paralelismo, debe ser integrada de forma activa, anticipadora y no meramente percibida pasivamente por la observación de tres rectas parallelas, ya trazadas de antemano en la página del libro.

Palabras claves: geometria, lógica, anticipación, actividades.

Resumen del trabajo

1 La transitividad

La relación de transitividad es la que los niños formalizan primero y la que les resulta mas facil de aplicar.

a) en el paralelismo

En geometria al final del primario los alumnos deben conocer la propiedad: "si una recta (d1) es paralela a una recta (d2) y a su vez la recta (d2) es paralela a una recta (d3) entonces, la recta (d3) es paralela a la recta (d1)". Para que la descubran les propongo la actividad siguiente: 1° fase; los alumnos en una hoja de formato A4 dispuesta en el sentido del largo,( los 29,7cm en "horizontal"), en donde ya esta trazada une representación de una recta (d1), (un poco oblicua), sobre el lado izquierdo de la hoja, deberán trazar una recta (d2), paralela a (d1), a 10cm de (d1). En esta fase los alumnos ya deben saber como trazar une recta paralela a otra recta dada y entonces pratican este saber procedural. 2° fase; luego se les dice de plegar la hoja A4 de manera que se vea de un lado la recta (d2) solamente, y atrás escondida la recta (d1). Se les dice entonces de trazar una recta (d3) paralela a (d2) a 12cm de distancia, (aqui de nuevo practican el trazado de una paralela). Se les pregunta: cómo serán las rectas (d1) y (d3) cuando desplegemos la hoja? 3°fase ; aqui los alumnos deben argumentar sin desplegar la hoja . Es asi que ellos concluyen diciendo que las rectas (d1) y (d3) serán paralelas. Algunos alumnos argumentan que la distancia entre las dos rectas paralelas deberá ser de 22cm porque como entre (d1) y (d2) hay 10cm y entre (d2) y (d3) hay 12cm entonces la distancia entre (d1) y (d3) sera de 12+10 = 22 (en cm). 4°fase; se les dice de desplegar la hoja y verificar sus afirmaciones con la escuadra para medir bien la distancia entre dos paralelas. 5° fase ; se les pregunta si se puede completar la frase: "si una recta (d1) es paralela a una recta (d2) y si una recta (d2) es paralela a una recta (d3) entonces..." Se llega en esta quinta fase a la propiedad geométrica.

Comentario didáctico :en la casi totalidad de los manuales vemos presentar esta propiedad ya escrita e ilustrada con un dibujo en donde están las tres rectas visibles. Nosotros optamos siempre por darle a las propiedades su caracteristica anticipadora. Los alumnos afirman que (d1) y (d3) serán obligatoriamente paralelas y ello argumentado por el razonamiento de la suma de "distancias entre las rectas", 10+12 (en cm). Esto es luego verificado experimentalmente por el procedimiento con la escuadra. En la verificación con los instrumentos de geometria se les propone de poner la regla con el borde junto a la recta (d3) y de deslizar la escuadra a lo largo de la regla para verificar que los puntos de (d1) están siempre sobre la rayita del 22 de la bordede la escuadra. Este aspecto cinemático les refuerza la noción de "distancia entre dos paralelas".

b) en la igualdad o en el orden de magnitudes

Uno de los campos de conocimiento en donde los alumnos aprenden la transitividad, desde muy temprana edad,es el de las magnitudes y sus medidas . Por ejemplo la longitud, la amplitud angular, el área de una superficie plana, el volumen ,la masa,…, y también desde pequeños en la cardinalidad y la ordinalidad de los conjuntos de objetos.

También aqui se deberá ejercer el caracter anticipador de la transitividad. Por ejemplo en la noción de área les presento una actividad en las cual se proponen distintas figuras poligonales recortadas en papel cartón; formadas todas a partir de triángulos equiláteros. Sea a partir de un solo triángulo, de dos, tres,cuatro, cinco, seis, …colocados haciendo coincidir dos lados afin de formar figuras poligonales. 1°fase ; los alumnos de la primaria, reconocen las caracteristicas geométricas de estas figuras.y las enuncian verbalmente. De este modo utilizan su vocabulario geométrico. 2°fase ; se seleccionan tres alumnos y se elije una figura junto con ellos, sin mostrarla a los otros. Luego se le pide a uno de los tres que vaya con su figura hasta el lugar de un segundo alumno para comparar sus figuras y ver cual es "mas grande", (esto se anota en el pizarrón). Se le dice al segundo alumno que vaya a ver al tercero y que comparen sus figuras, (también se anota en el pizarrón). El hecho que el docente elija las figuras es importante ya que lo hará de manera a poner en facilmente en evidencia, por perceptiva visual, las comparaciones. y a su vez la transitividad. Por ejemplo puede elejir un triángulo para el primer alumno, un paralelogramo para el segundo y un hexágono para el tercero. 3° fase ; se interroga a la clase si se puede mirando las anotaciones del pizarrón, saber cual es la figura mas grande y la mas pequeña. Aqui los alumnos argumentan utilizando la transitividad: si la primera es mas chica que la segunda y la segunda mas chica que la

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