MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Y DETERMINANTES

Las matrices y los determinantes son herramientas del algebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo.

Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados básicamente en el siglo XIX por matemáticos como los ingleses: J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irlandés William Hamilton.

Las matrices se encuentran en aquellos ámbitos en los que se trabaja con datos regularmente ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales, Económicas y Biológicas.

MATRICES

Una matriz es una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas del modo:

Abreviadamente se puede expresar A = (aij). Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices. El primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna.

Así el elemento a23 está en la fila 2 y columna 3. Las matrices siempre se representarán con letras mayúsculas.

Ejemplo:

Tipos de matrices:

1. Matriz Nula: se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero. Por ejemplo:

2. Matriz Fila: se llama matriz fila a la que sólo tiene una fila, es decir su dimensión es 1x n.

Por ejemplo:

3. Matriz columna: se llama matriz columna a la que sólo consta de una columna, es decir su dimensión será m x 1, como por ejemplo:

4. Matriz Cuadrada: una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir su dimensión es n x n. La matriz del primer ejemplo anterior es cuadrada de tamaño 2 x 2 o simplemente de orden 2.

Otro ejemplo de matriz cuadrada es:

5. Matriz traspuesta: Dada una matriz A, su matriz se representa por At, la cual se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de At, la segunda fila de A es la segunda columna de At y así sucesivamente. De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m.

6. Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aj= aj

7. Matriz anti simétrica: Una matriz cuadrada se dice que es anti simétrica si A = –At, es decir aij= -aji.

Reglas para resolver matrices:

1. Producto por un número real: dada una matriz cualquiera A y un número real k, el producto k•A se realiza multiplicando todos los elementos de A por k, resultando otra matriz de igual tamaño. (Evidentemente la misma regla sirve para dividir una matriz por un número real). Por ejemplo:

2. Suma y diferencia: dadas dos matrices A y B podemos realizar su suma o diferencia de acuerdo a la siguiente regla. Para sumar o restar dos matrices del mismo tamaño, se suman o restan los elementos que se encuentren en la misma posición, resultando otra matriz de igual tamaño. Si las matrices tienen diferente tamaño, no se pueden sumar o restar entre sí. Por ejemplo:

3. Trasposición de matrices: dada una matriz cualquiera A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At a la matriz que resulta de intercambiar las filas y las columnas de A. Por ejemplo, si

• Evidentemente, si A es una matriz de tamaño m x n, su traspuesta At tendrá tamaño n x m, pues el número de columnas pasa a ser el de filas y viceversa. Si la matriz A es cuadrada, su traspuesta tendrá el mismo tamaño.

4. Producto de matrices: hay que dejar claro ya desde el principio que no todas las matrices pueden multiplicarse. Dos matrices se pueden multiplicar cuando se cumple la siguiente condición: “Para multiplicar dos matrices A y B, en este orden, A•B, es condición indispensable que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B” Si no se cumple esta condición, el producto A•B no puede realizarse, de modo que esta es una condición que debemos comprobar previamente a la propia multiplicación. Una vez comprobado que el producto A•B se puede realizar, si A es una matriz m x n y B es una matriz n x p (observemos que el nº de columnas de A = n = nº de filas de B), entonces el producto A•B da como resultado una matriz C de tamaño n x p del siguiente modo: “El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz C=A•B, se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando los resultados.”

Primero

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