Matrices Y Determinantes

Tema 3. MATRICES Y DETERMINANTES

3.1 Conceptos generales

3.2 Operaciones matriciales

3.3 Tipos de matrices

3.4 Determinantes

3.5 Matriz inversa

3.6 Rango y traza

3.7 Matrices particionadas

3.8 Sistemas de ecuaciones lineales

Matem¶aticas Matrices y determinantes 33

3 MATRICES Y DETERMINANTES

3.1 CONCEPTOS GENERALES

3.1.1 DEFINICI¶ON

Una matriz de m ¯las y n columnas sobre un cuerpo IK es una

aplicaci¶on:

A : f1; : : : ;mg £ f1; : : : ; ng ¡! IK

(i; j) 7¡! aij:

La matriz A suele representarse por

A = (aij)

1·i·m

1·j·n

=

0

BBBBBBBB@

a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n

a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1 am2 ¢ ¢ ¢ amn

1

CCCCCCCCA

y se dice que es de orden m£ n .

² La ¯la i-¶esima de la matriz A es la formada por los elementos

ai1; ai2; : : : ; ain.

² La columna j-¶esima de la matriz A es la formada por los

elementos a1j; a2j; : : : ; amj.

² El t¶ermino (i; j) de la matriz A es aij.

NOTACI¶ON: Se denota porMm£n(IK) el conjunto de las matrices

de orden m £ n con elementos en IK.

Matem¶aticas Matrices y determinantes 34

Sean A;B 2 Mm£n(IR); A = (aij)

1·i·m

1·j·n

; B = (bij)

1·i·m

1·j·n

.

Se dice que A y B son iguales si y s¶olo si 8i 2 f1; : : : ;mg

8j 2 f1; : : : ; ng aij = bij .

3.2 OPERACIONES MATRICIALES

3.2.1 SUMA DE MATRICES

Sean A;B 2 Mm£n(IK); A = (aij)

1·i·m

1·j·n

;B = (bij)

1·i·m

1·j·n

. Se

de¯ne A + B = C 2Mm£n(IK) , con C = (cij)

1·i·m

1·j·n

tal que

8i 2 f1; : : : ;mg 8j 2 f1; : : : ; ng cij = aij + bij:

3.2.2 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES

1. 8A;B;C 2Mm£n(IK) (A + B) + C = A + (B + C).

2. 9 O = (0ij)

1·i·m

1·j·n

2 Mm£n(IK) (matriz nula), tal que

8A 2Mm£n(IK) A + O = O + A = A.

3. 8A 2Mm£m(IK) 9 ¡ A 2Mm£n(IK) tal que

A + (¡A) = (¡A) + A = O:

(¡A = (¡aij)

1·i·m

1·j·n

).

Matem¶aticas Matrices y determinantes 35

4. 8A;B 2Mm£n(IK) A + B = B + A.

3.2.3 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

Sean A 2 Mm£n(IK); A = (aij)

1·i·m

1·j·n

, y ¸ 2 IK. Se de¯ne

¸A = C 2Mm£n(IK) , con C = (cij)

1·i·m

1·j·n

, tal que

8i 2 f1; : : : ;mg 8j 2 f1; : : : ; ng cij = ¸aij:

3.2.4 PROPIEDADES DEL PRODUCTO POR ESCALARES

8A;B 2Mm£n(IK) 8¸; ¹ 2 IK

1. ¸(A + B) = ¸A + ¸B.

2. (¸ + ¹)A = ¸A + ¹A.

3. (¸¹)A = ¸(¹A).

4. 1A = A (1 es la unidad del cuerpo IK).

3.2.5 OBSERVACI¶ON:

(Mm£n(IK);+; ¢) es un espacio vectorial sobre IK de dimensi¶on

mn.

Matem¶aticas Matrices y determinantes 36

3.2.6 PRODUCTO DE MATRICES

Sean A 2 Mm£n(IK);B 2 Mn£p(IK) , donde A = (aij)

1·i·m

1·j·n

,

B = (bij)

1·i·n

1·j·p

. Se de¯ne A ¢ B = C 2 Mm£p(IK); con C =

(cij)

1·i·m

1·j·p

tal que:

8i 2 f1; : : : ;mg 8j 2 f1; : : : ; pg cij =

nX

k=1

aikbkj:

3.2.7 PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES

1. 8A 2Mm£n(IK); 8B 2Mn£p(IK); 8C 2Mp£q(IK)

(AB)C = A(BC):

2. 8A;B;C 2Mn£n(IK)

A(B + C) = AB + AC

(B + C)A = BA + CA:

3. 9 In 2Mn£n(IK), tal que 8A 2Mn£n(IK)

AIn = InA = A;

donde:

In =

0

BBBBBBBB@

1 0 ¢ ¢ ¢ 0

0 1 ¢ ¢ ¢ 0

. . . . . . . . . .

0 0 ¢ ¢ ¢ 1

1

CCCCCCCCA

...