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Matrices Y Determinantes


Enviado por   •  10 de Diciembre de 2012  •  6.605 Palabras (27 Páginas)  •  752 Visitas

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Cap´ıtulo 6

MATRICES Y DETERMINANTES

6.1. Introducci´on

Las matrices y los determinantes son herramientas del ´algebra que facilitan el ordenamiento de

datos, as´ı como su manejo.

Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados b´asicamente en el siglo XIX

por matem´aticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irland´es William Hamilton.

Las matrices se encuentran en aquellos ´ambitos en los que se trabaja con datos regularmente

ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales , Econ´omicas y Biol´ogicas.

6.2. Matrices. Definici´on yp rimeros ejemplos

Una matriz es una tabla rectangular de n´umeros reales dispuestos en filas y columnas del modo:

A =



a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n

...

...

...

. ..

...

am1 am2 am3 . . . amn



 

Columnas de la matriz A





Filas de la matriz A

Abreviadamente se puede expresar A = (aij ). Cada elemento de la matriz lleva dos sub´ındices. El

primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna.

As´ı el elemento a23 est´a en la fila 2 y columna 3. Las matrices siempre se representar´an con letras

may´usculas.

Ejemplos: Son ejemplos de matrices los siguientes:

A =



2 1

3 4



B =

√

6 −4 0

1 2 1



C =



3 1 0

2 −4 0

−1 15

2

1 0 0



A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tama˜no es 2 x 2.¿Qu´e elemento es a21?.

B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tama˜no es 2 x 3.¿Qu´e elemento es b23?.

C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su tama˜no es 4 x 3.¿Qu´e elemento es c42?.

En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tama˜no o dimensi´on es m

x n (se lee “m por n”), siempre en primer lugar el nº de filas y en segundo lugar el de columnas.

82

CAP´ ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 83

6.3. Tipos de matrices

1. Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.

Por ejemplo,

A =



0 0 0 0 0

0 0 0 0 0



es una matriz nula de tama˜no 2x5.

2. Se llama matriz fila a la que s´olo tiene una fila, es decir su dimensi´on es 1x n.

Por ejemplo, 

1 0 −4 9



es una matriz fila de tama˜no 1 x 4.

3. Se llama matriz columna a la que s´olo consta de una columna, es decir su dimensi´on ser´a m x

1, como por ejemplo:

C =

1

0

8

es una matriz columna de tama˜no 3 x 1.

4. Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo n´umero de filas que de columnas, es decir su

dimensi´on es n x n. La matriz (2 1

3 4) del primer ejemplo anterior es cuadrada de tama˜no 2 x 2 o

simplemente de orden 2.

Otro ejemplo de matriz cuadrada es:

D =

1 2 3

6 5 4

−3 −4 0

de orden 3.

Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos

a11, a22, a33, . . ., ann, siendo la matriz:

A =



a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n

...

... ...

. ..

...

an1 an2 an3 . . . ann



En la matriz D del ejemplo anterior, su diagonal principal estar´ıa formada por 1, 5, 0.

Se llama traza de la matriz a la suma de los elementos de la diagonal. Es decir, Traza (A)=a11+

a22 + a33 + . . . + ann , y en el caso de D, Traza (D)= 1+5+0 = 6.

La diagonal secundaria es la formada por los elementos a1n, a2,n−1, a3,n−2, . . ., an1.

En la matriz D estar´ıa formada por 3, 5, -3.

Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triangulares.

Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son

nulos y triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal.

Son ejemplos de estas matrices:

E =



1 0 0 0

0 −4 0 0

3 4 5 0

1 3 16 −78



Triangular inferior

F =

1 4 1

3

0 9 −5

0 0 π

Triangular superior

CAP´ ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 84

Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, s´olo tiene elementos en la diagonal principal.

Una matriz de este tipo se denomina matriz diagonal.

Un ejemplo de matriz diagonal ser´ıa:

G =



1 0 0 0

0 −45 0 0

0 0 3 0

0 0 0 0



Por ´ultimo, si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal s´olo unos, se denomina matriz unidad

o identidad. Se suelen representar por In , donde n es el orden o tama˜no de la matriz. Algunas matrices

identidad son:

I2 =



1 0

0 1



I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

 I4 =



1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1



6.4. Aplicaciones de las matrices

Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificar

valores num´ericos atendiendo a dos criterios o variables.

Ejemplo: Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todos

ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en euros) indicado por la

tabla siguiente:

2 unid. 5 unid. 10 unid.

Color N 0’04 0’08 0’12

Color F 0’03 0’05 0’08

Sabiendo que en un a˜no se venden el siguiente n´umero de paquetes:

Color N Color F

2 unid. 700000 50000

5 unid. 600000 40000

10 unid. 500000 500000

...

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