Matrices Y Determinantes

Matrices

A diferencia del algebra elemental el algebra lineal estudia los sistemas con un numero arbitrario de ecuaciones e incógnitas.

Sea dado un sistema de s ecuaciones lineales con n incógnitas las designamos con la letra x con subíndices 1, 2, 3, … n: x1, x2, x3, … xn; supondremos que las ecuaciones están enumeradas así: la primera, la segunda, …, la s-ésima; el coeficiente de la incógnita xj en la i-ésima ecuación, se señalara mediante aij , finalmente el termino independiente de la i-ésima ecuación se designará con bi.

Nuestro sistema se escribirá ahora en la forma general siguiente:

..a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1

..a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

..as1 x1 + as2 x2 + . . . + asn xn = bs.

Los coeficientes se pueden colocar formando un cuadro

..a11 a12 . . . a1n

..a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . . . . .

..as1 as21 . . . asn

Denominando matriz de s filas y n columnas.

En otras palabras una matriz es una ordenación de números dispuestos en filas y en columnas, encerrados entre corchetes, como por ejemplo,

2 3 7

1 -1 5

Y que verifique ciertas reglas o algebra se llama matriz. La matriz anterior es la matriz de los coeficientes del sistema homogéneo de ecuaciones lineales

2x + 3y =7

x – y = 5.

Determinantes

El determinante proporciona una formula explicita, una expresión concisa y definida en forma completa, el determinante mismo se halla mediante la eliminación. De hecho podemos considerar la eliminación como la forma más eficiente de sustituir las entradas de una matriz “a2 dada en la formula. lo importante es el hecho de que la formula general muestra como la cantidad que queremos depende de las “n”.

El método más cómodo para la eliminación de incógnitas para solución de los sistemas con coeficientes numéricos, es decir el método de eliminación consecutiva de las incógnitas o método de gauss .

A continuación se hacen las siguientes transformaciones del sistema de ecuaciones lineales: ambos miembros de una de las ecuaciones del sistema. Suponer, por ejemplo, que ambos miembros de la primera ecuación de un sistema s de ecuaciones, multiplicados por el numero c, se restan de los correspondientes miembros de la segunda ecuación.

Método de gauss.

Transformación de un sistema de ecuaciones s, eliminando la primera x1 incógnita de todas las ecuaciones, menos de la primera ecuación. Para esto, hay que multiplicar ambos miembros de la primera ecuación por a21/a11 y restarlo de los miembros correspondientes de la segunda ecuación. Después, multiplicar ambos miembros de la primera ecuación por a31/a11, y restarlos de los

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