MEDIDAS DE RESUMEN

CAPÍTULO 2: MEDIDAS DE RESUMEN

Las tablas y gráficas construidas para tener una representación de los datos, son una primera aproximación a la comprensión de su comportamiento. Sin embargo hay rasgos específicos de las variables que puede interesar conocer. Surgen así medidas que permiten captar en forma resumida los principales rasgos de cada variable.

Cuando las variables son categóricas, las medidas posibles son proporciones y porcentajes.

Cuando las variables son numéricas, existen varias medidas posibles que tratan de resumir la información que contienen.

Las medidas de posición buscan dar una idea numérica de donde se encuentra situada una distribución de frecuencias (donde se localizan las observaciones).

Pueden ser de 2 tipos: Medidas de tendencia central y Medidas de posición no centrales.

Las medidas de tendencia central, buscan sintetizar la información contenida en una distribución de frecuencias, estimándose donde se encuentra el centro de la misma, según diferentes criterios.

Las medidas de posición no centrales buscan dar una idea de donde se encuentra el grueso de la distribución de frecuencias.

Algunas características que interesa conocer sobre una medida de posición: ¿Intervienen todos los elementos? ¿Con qué tipo de datos se puede calcular? ¿Es única? ¿Es robusta? ¿En qué sentido es representativa? ¿Cómo se interpreta? ¿Cómo se comporta bajo transformaciones? (en particular bajo cambios de origen y escala) ¿Cuándo conviene utilizarla?

Las medidas de dispersión buscan rescatar la dispersión o variabilidad de los datos.

Las medidas de simetría y curtosis tienen que ver con la forma de la distribución de frecuencias.

2.1.- MEDIDAS DE LOCALIZACIÓN O MEDIDAS DE POSICIÓN.

2.1.1.- MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.

2.1.1.1.- Media aritmética de una variable X M ( X ) o

1.- DATOS SUELTOS

X : x 1 , x 2 , x 3 , ................, x n

2.- DATOS TABULADOS EN LA FORMA:

X i n i

X 1

X 2

X 3

.....

.....

X r n 1

n 2

n 3

....

.....

n r

3.- DATOS TABULADOS Y AGRUPADOS:

Si se dispone de los datos originales, la media verdadera es aquella calculada con esos datos.

Si no se dispone de esos datos, una aproximación a la verdadera media está dada por:

Donde los X i son las marcas de clase.

Ejemplos:

1.- X : Edad de 5 personas : 50, 42, 34, 38, 46

2.-

N°de asig. N°de alumnos %de alumnos N° de al.

acumulados % de al.

acumulados

0

1

2

3

4 4

8

9

6

3

13.3 %

26.7 %

30.0 %

20.0 %

10.0 % 4

12

21

27

30 13.3 %

40.0 %

70.0 %

90.0 %

100.0 %

Total 30 100 %

3.-

Peso (Kg) N° de

alum. % de

Alud. N° de al.

acumul. % de al.

acumul.

De 50 a menos de 54

De 54 a menos de 58

De 58 a menos de 62

De 62 a menos de 66

De 66 a menos de 70

De 70 a 74

52

56

60

64

68

72

4

4

6

8

5

3

13.3

13.3

20.0

26.7

16.7

10.0

4

8

14

22

27

30

13.3

26.6

46.6

73.3

90.0

100.0

Total 30 100 %

2.1.1.2.- Media aritmética ponderada.

Los p i son los pesos o ponderaciones y p es la suma de los pesos.

Ejemplo: Si las notas de un alumno son: 3, 5, 6 entonces la media aritmética es 4.7.

Si se agregaran las ponderaciones o pesos: 20%, 30%, 50%, respectivamente, entonces la media aritmética ponderada es:

DEFINICIONES:

A la expresión: (x i - x¯ ) se le puede llamar desviación de x i con respecto a la media. En otras palabras la desviación de un determinado valor de la variable, con respecto a la media de esa variable, es la distancia de ese valor a la media, acompañada de un signo.

K , representa una constante, es decir puede considerarse como una variable X que "toma" los valores: K, K, K,..........,K.

( X + K ), representa una variable generada a partir de la variable X, donde a cada valor de X se le suma K. Es decir si la variable X toma los valores : x 1 , x2 , x 3 , ................, x n entonces la variable X + K toma los valores : x 1 + K, x 2 + K , x 3 + K , ................, x n + K

( KX ), representa una variable generada a partir de la variable X, donde cada valor de X se multiplica por K. Es decir si la variable X toma los valores : x 1 , x 2 , x 3 , ................, x n entonces la variable KX toma los valores : Kx 1 , Kx 2 , Kx 3 , ................, Kx n

Propiedades:

La suma de las desviaciones con respecto a la media es igual a cero.

2.- M ( K ) = K

La media de una constante, es la misma constante.

3.- M ( X + K ) = M ( X ) + K

Si cada valor que toma una variable se incrementa en K, entonces la media queda incrementada en K.

4.- M ( K X ) = K M ( X )

Si cada valor que toma una variable se multiplica por K, entonces la media queda multiplicada por K.

5.- Si se tiene un conjunto de datos A con n elementos (que corresponden a los n valores

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