Modulo: Representación Simbólica Y Angular Del Entorno.Unidad 2.Nombre: Karen Yasmín Piña Avelino.

Unidad 2.

A. Cálculo y trazo de componentes de la geometría.

Ángulos

Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común.

A las semirrectas se las llama lados del ángulo.

El origen común es el vértice.

El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso contrario

Medición.

Medida de ángulos

Para medir ángulos se utiliza el sistema sexagesimal.

Grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales.

Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').

1º = 60' = 3600''

1' = 60''

Radianes

Un radián (rad) es la medida del ángulo central de una circunferencia cuya longitud de arco coincide con la longitud de su radio.

1 rad= 57° 17' 44.8''

360º = 2 rad

180º = rad

30º rad

/3 rad º

Ejercicios

Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:

13 rad

22π/5rad.

33π/10 rad.

Expresa en radianes los siguientes ángulos:

1316°

2 10°

3 127º

ÁNGULOS Y SU MEDIDA

Consideremos un plano y dos rectas en él r1 y r2. Si estas rectas se cortan en un punto O, se forman dos ángulos, α y β:

Si convenimos en nombrar los ángulos en sentido anti-horario (contrario a las agujas del reloj), tendremos que α =(ángulo entre r1 y r2) y β =(ángulo entre r2 y r1). Notamos que en general α 6= β.

Para medir el ángulo α, por ejemplo, podemos usar un método originario de Babilonia y muy utilizado actualmente fuera de las matemáticas, que consiste en trazar una circunferencia con centro en O y radio arbitrario. Luego se divide a la circunferencia en 360 arcos de igual longitud, comenzando en el punto donde la circunferencia corta la recta r1, como se muestra en la figura:

Cada uno de estos arcos representa un ángulo de un grado, en el siguiente sentido: si r2 cortara a la circunferencia por el extremo del primer arco, diríamos que el ángulo α es de un grado (1°).

Si las subdivisiones de la circunferencia no son suficientes para dar una medida exacta de α, se puede subdividir cada arco en 60 arcos más, todos iguales. Al ángulo definido por uno de estos nuevos arcos se le llama un minuto (1°). Finalmente, cada uno de estos arcos puede dividirse en 60 arcos más, que forman ángulos de un segundo (1°°). Para medir cuánto vale α en nuestro ejemplo se cuenta cuántos grados, minutos, segundos y fracciones de segundo hay en el arco comprendido entre r1 y r2.

Normalmente, para simplificar el proceso se usa un instrumento llamado transportador, que si es muy exacto recibe más bien el nombre de goniómetro (gonios es raíz griega que significa ángulo).

Hay muchas razones por las cuales al trabajar en matemáticas se prefiere usar una medida del ángulo llamada radián. Una, es que no se basa en un número arbitrario de subdivisiones de la circunferencia, como la medida de grados que discutimos arriba (existe una medida de ángulos dada en grados centesimales que se obtiene al subdividir la circunferencia en 400 partes iguales, cien para cada ángulo recto).La medida en radianes del ángulo α entre las rectas r1 y r2 se obtiene. Así: Se traza una circunferencia con centro O

y radio arbitrario. Se mide la longitud del arco AB y se divide entre el radio R de la circunferencia:

Por ejemplo, si r1 y r2 se cortan en ángulo recto, el arco AB mide la cuarta parte del perímetro de la circunferencia, 2πR, y por tanto el ángulo α es π2. Observe la figura siguiente,

Fíjese que el cociente tiene un valor que no depende del radio R de la circunferencia que usamos:

Veamos otro ejemplo: la medida del ángulo llano (α = 180°). En este caso, las rectas coinciden, y el ángulo α es el indicado en la figura. Al trazar una circunferencia C con centro en O, obtenemos que AB es la mitad del perímetro de C,

y por tanto α = π radianes. De nuevo, el cociente es un número que no depende de R.

En general, dado el ángulo α y dos circunferencias de radios R y R°, los números son iguales, y esto hace que la medida de un ángulo en radianes sea bien definida, de manera que es utilizable.

Si tiene dudas sobre este hecho, que , no debe preocuparse. Esto quedará bien claro en otra guía, más adelante, al estudiar la semejanza.

La equivalencia entre radianes y grados se puede obtener así: trazamos un ángulo α que mida un grado, y una circunferencia C con radio R y centro en el vértice del ángulo. Por la definición de grado, sabemos que el arco es la 360-ava parte del perímetro de C. El perímetro de C es 2πR, y por tanto

Clasificación.

Agudo < 90° Recto = 90° Obtuso>90°

Convexo < 180° Llano = 180° Cóncavo > 180°

Nulo = 0º Completo = 360°

Negativo < 0º Mayor de 360°

Clasificación de ángulos según su posición

Ángulos consecutivos

Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y un lado común.

Ángulos adyacentes

Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en polongación del otro.

Forman un ángulo llano.

Ángulos opuestos por el vértice

Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro.

Los ángulos 1 y 3 son iguales.

Los ángulos 2 y 4 son iguales.

Clasificación de ángulos según su suma

Ángulos complementarios

Dos ángulos son complementarios si suman 90°.

Ángulos suplementarios

Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.

Ángulos resultantes del corte entre dos rectas paralelas y perpendiculares entre sí

Ángulos correspondientes

Los ángulos 1 y 2 son iguales.

Ángulos alternos internos

Los ángulos 2 y 3 son iguales.

Ángulos alternos externos

Los

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