PRODUCCION OPTIMA DE UNA EMPRESA

La producción óptima de una empresa bajo competencia perfecta

La producción óptima es aquella donde la empresa obtiene la máxima rentabilidad económica teniendo en consideración que el precio del producto que coloca en el mercado está fijado por las fuerzas del mercado, es decir, por la interacción de la oferta y la demanda.

En el presente documento se desarrollará un modelo teórico que explica como la empresa, en un escenario competitivo, obtiene la máxima rentabilidad económica en el corto plazo. Se asume que “la empresa es tomadora de precios y que tiene como objetivo producir de tal manera de obtener la máxima rentabilidad económica”.

El modelo

La empresa tiene una función de producción de corto plazo:

y una función de costos de corto plazo:

Como se puede apreciar, la producción depende de dos factores: capital “K”, factor fijo, y la mano de obra “L”, factor variable, y el costo variable depende del nivel de la producción. El costo del capital es el costo de “uso” del mismo, de acuerdo al valor fijado en el mercado, siendo realmente su respectivo costo de oportunidad.

Cuando la empresa produce, llamémosle, el bien “X”, tiene como información suministrada por el mercado el precio de este bien. En tal sentido, al tener como objetivo obtener la máxima rentabilidad, dada su función de producción y de costos, deberá “elegir” un nivel de producción que le ocasione la máxima rentabilidad económica.

En el documento de la teoría de costos de corto plazo, se desarrollaron las respectivas curvas, las que se caracterizan por presentar doble concavidad a causa de la existencia de la ley de los rendimientos marginales decrecientes. Esta característica de los costos de corto plazo trae como consecuencia que la empresa debe tomar como información clave, para la toma de decisiones, el costo marginal, porque este costo es el que deberá ser utilizado para el análisis marginal (en el margen).

La función de ingreso total y marginal de la empresa

La empresa a medida que aumenta su producción, sus ingresos totales o ingresos por ventas se incrementan de manera lineal en vista que el precio viene dado por el mercado.

Sea “Px” el precio del bien “X”, y “q” su tasa de producción , entonces la función de ingreso total será:

Al ser el precio del bien “X” constante, la función de ingreso es un rayo que parte del origen, con pendiente constante:

En la figura Nº 1 se puede apreciar tres rayos que parten del origen, con diferentes pendientes. En este caso las pendientes de las rectas es el precio. El ingreso total “IT1” tiene una mayor pendiente que el ingreso total “IT2”, y éste, mayor pendiente que “IT3”.

Si se efectúa un análisis en el margen, observamos que si aumenta la cantidad de productos vendidos, el ingreso total aumentará en un valor equivalente al precio del producto, lo que significa que el precio es el ingreso marginal. Cabe destacar que el precio es a su vez el ingreso medio. Esta igualdad entre un valor marginal y medio se presenta en el caso de rectas que parten del origen.

Si derivamos el ingreso total respecto a la cantidad “q”, obtenemos:

y en adición, si dividimos el ingreso total entre “q”:

Si graficamos el ingreso medio y marginal para cada una de los ingresos totales antes explicados, tenemos rectas horizontales:

La función de rentabilidad económica

La función de rentabilidad económica es la diferencia de los ingresos totales y de los costos económicos:

donde:

= rentabilidad económica

IT = ingreso total

CF = costo fijo

CV = costo variable

Se puede apreciar que el costo fijo no está en función de la producción por lo que este costo se convierte en irrelevante para la toma de decisiones relacionadas a la producción óptima. Sin embargo el resto de variables si están relacionadas con la tasa de producción.

La función de rentabilidad puede ser visualizada en la figura Nº 3.

En el eje vertical tenemos el ingreso total y los costos totales y en el eje horizontal, la tasa de producción. Cabe destacar que no se considera el costo fijo en vista que no es necesario para la toma de decisiones, tal como se señalara anteriormente.

Cuando se produce “qb”, se obtiene la máxima distancia vertical entre

el ingreso total (IT1) y el costo total (CT). En la figura se puede observar que esta máxima distancia se obtiene cuando se proyecta una paralela de la recta “IT1” hacia abajo hasta que se convierta en una tangente de la curva de costo variable, de tal manera que ambas rectas formen el mismo ángulo o la misma pendiente respecto al eje horizontal. Por otro lado, la pendiente de la recta de ingreso total es el precio, y la pendiente de la curva de costo variable es el costo marginal, lo que significa que en el margen el costo y el ingreso son iguales. En otras palabras, en la tasa de producción “qb”, el costo marginal es igual al ingreso marginal, o, el costo marginal es igual al ingreso medio. O dicho de otra manera, dada la última unidad producida y vendida, el ingreso adicional obtenido es igual al costo incurrido en esta última unidad producida .

Usando un a notación matemática tenemos que:

derivando respecto a “q”, tenemos que:

al ser cero la derivada del costo fijo, tenemos que:

Se sabe de antemano que la curva de costo variable tiene doble concavidad, por tanto la función de rentabilidad también tendrá doble concavidad toda vez que esta función es una resta vertical del ingreso total y del costo variable.

Aplicando la técnica matemática del óptimo conocida como la condición de primer orden, igualamos la primera derivada a cero, con la finalidad de hallar los puntos críticos de la función de rentabilidad. Así tenemos que:

para finalmente llegar a la ecuación de la condición óptima:

y siendo el ingreso marginal igual al precio, se obtiene:

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