Permutaciones

PERMUTACIONES

Se llaman permutaciones de n elementos a las distintas agrupaciones que se pueden formar con los n elementos, de tal forma que una agrupación difiera de otra solamente por el orden de colocación de los elementos.

Las permutaciones de n elementos pueden ser consideradas como caso particular de variaciones de n elementos tomadas de n en n.

Al número de permutaciones de n elementos se le representa con el símbolo Pn y es:

Pn = Vnn =n (n-1)(n-2)…… 3 •2•1

El producto n (n-1)(n-2)…1 es también llamado factorial de n, y se representa por n!. Por tanto

Pn = n! =n (n-1)(n-2)…… 3 •2•1

Por ejemplo

De cuantas maneras pueden sentarse seis personas en un banco?, y en una mesa camilla?

Hay tantas formas de sentarse seis personas en un banco como ordenaciones posibles de seis elementos distintos. Se trata de permutaciones de 6 elementos.

P6 =6!=720

Cuando las seis personas se sientan en una mesa camilla, observamos que. Si trasladamos a cada persona un asiento a la derecha, se obtiene una situación idéntica a la anterior. Entonces, si se fija una persona, y se permuta el resto, se tienen todas las formas posibles:

P5 =5!=120

Permutaciones con repetición

Se llama permutación con repetición de n elementos a las distintas agrupaciones que se pueden formar con los n elementos de modo que se cumplan las condiciones:

En toda agrupación figuran todos los elementos

Entre los elementos de cada agrupación los hay que son iguales entre si

El número de permutaciones con repetición se denota por Pma.b…, donde m es el índice inferior, que indica el número de elementos de que consta cada agrupación, y a, b… son los índices superiores, que señalan el número de veces que se repite cada elemento.

Para determinar cuántas son, pensemos sobre un ejemplo concreto:

Queremos hacer quinielas de futbol que contengan 7 signos 1, cuatro X y tres 2. Con estas condiciones, cuantas columnas distintas se pueden rellenar? Una posible combinación es

1 1 1 1 1 1 1 X X X X 2 2 2

Si se permutan ent5re si los siete unos, las 4X y los tres signos de 2, se tienen 7!4!3! agrupaciones, que corresponden a la misma apuesta.

Luego el número de agrupaciones distintas es el cociente de dividir el número de permutaciones ordinarias de 14 elementos entre 7!4!3!

P_14^(7 4 3) P_14/(P_7 P_4 P_3 )= 14!/7!4!3!=120120

Generalizando este resultados, el número de permutaciones con repetición de m elementos, en donde uno de ellos se repite a veces, otro b veces,…, otro c veces, siendo m=a+b+…..+c, es

P_m^(a,b,…c)=P_m/(P_a P_b….P)= m!/(a!b!…c!)=(a+b+⋯+c)!/(a!b!…c!)

BIBLIOGRAFIA

Vargas SabadÍas Antonio (1996)

“Estadística descriptiva e inferencial”

Univ. de Castilla

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