Preparando la PEP 1

Ejercicios Resueltos Cálculo 1 Profesor Oscar López Aliaga

Ejercicios Resueltos

1. a. Exprese el área y el perímetro de un triángulo equilátero como una función

del lado x del triángulo.

Solución

En primer lugar las longitudes de los lados de un triángulo son números reales positivos. Entonces el dominio será D

f

= ]0,+∞[.

Si denotamos p(x) al perímetro y a(x) al área de un triángulo equilátero de lado x entonces p(x) = 3x y a(x) =

√3 4

x2

b. Exprese la longitud del lado de un cubo como una función de la longitud de la diagonal D del cubo. Exprese el área de la superficie y el volumen del cubo como una función de la longitud de la diagonal.

Solución

Supongamos que el lado del cubo es x y que la diagonal de una cara del cubo es d entonces por Pitágoras sabemos que x2 + x2 = d2 lo que implica que 2 ∙ x2 = d2 entonces d = √2 ∙ x y en consecuencia D2 = (√2 ∙ x)

2

+ x2 entonces D2 = 3 ∙ x2 Por

lo tanto se sigue que x =

√3 3

∙ D.

Sea A el área de la superficie del cubo. Entonces A = 6 ∙ x2 = 2 ∙ (3 ∙ x2) = 2 ∙ D2.

Sea V el volumen del cubo. Entonces V = x3 =

√3 9

∙ D3.

c. Un punto P en el primer cuadrante pertenece a la gráfica de la función f(x) = √x. Exprese las coordenadas de P como funciones de la pendiente de la recta que une a P con el origen.

Solución

Como el punto P es un punto de G

f

tiene coordenadas (x,√x) en que x > 0. No consideramos el caso x = 0 pues en ese caso no queda definida una recta.

Si m representa la que m2 ∙ x2 = x o 1

pendiente de la recta ⃡ 0P entonces equivalentemente x =

m2 1

. m =

√x x

por lo tanto se cumple

Entonces las coordenadas de P son

(

m2 1

,

m 1

).

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2. a. Determine el dominio, recorrido y gráfico de g(x) = √−x

Solución

Debe cumplirse que −x ≥ 0 lo que es equivalente a x ≤ 0 por lo cual D

f

= ]−∞,0].

Como g(x) ≥ 0 también podemos afirmar que I

g

= [0,+∞[

Grafico

b. Determine el rango de y = 2 +

x2+4

x

2

Solución

y − 2 =

x2 x2

+ 4

Sabemos que x2 ≥ 0 ∧ x2 + 4 > 0 por lo cual y − 2 ≥ 0 lo que es equivalente a que y ≥ 2

(y − 2) ∙ (x2 + 4) = x2

(y − 2) ∙ x2 + 4 ∙ (y − 2) = x2

(y − 3) ∙ x2 = 4 ∙ (2 − y)

Entonces y ≠ 3

x2 =

4 ∙ (2 − y) y − 3

Como x2 ≥ 0 se debe cumplir que

2

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(2 − y ≥ 0 ∧ y − 3 > 0) ∨ (2 − y ≤ 0 ∧ y − 3 < 0)

(y ≤ 2 ∧ y > 3) ∨ (y ≥ 2 ∧ y < 3)

y ∈ ∅ ∪ [2,3[

y ∈ [2,3[

Luego el recorrido es el conjunto [2,3[.

3. a. En un círculo de radio 10[m] ¿Cuál es la longitud de un arco que subtiende

un ángulo central de 4π 5⁄ radianes y 110°?

Solución

En el círculo unitario la medida del ángulo en radianes es igual a la longitud del arco correspondiente. Si denotamos por s dicho arco y por S a la longitud del arco de una circunferencia concéntrica a la circunferencia unitario, pero de radio r entonces como la longitud del arco es directamente proporcional a la longitud del radio podemos escribir:

1 s

=

S r

⇔ S = rs

Por lo tanto el arco de la circunferencia de radio 10[m] que subtiende el ángulo central de 4π 5⁄ radianes mide 8π[m]

Por otra parte

π 2

:90 = x:110 ⇔ x =

11 18

∙ π

Entonces la longitud del arco será

55 9

π[m]

b. Un ángulo central en un círculo de radio 8 está subtendido por un arco de longitud 10π. Determine la medida del ángulo en radianes y en grados sexagesimales.

Solución

Si denotamos por s la longitud de la circunferencia unitaria concéntrica a la de radio 8, entonces se cumple que

1 s

=

...