Problemas De Optimizacion

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

-. 1/25.-

1. En un concurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitud para

que doblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro

ángulos rectos. Aquellos que lo logren reciben como premio tantos euros como

decímetros cuadrados tenga de superficie el cuadrilátero construido. Calcula

razonadamente la cuantía del máximo premio que se pueda obtener en este concurso.

A(x, y) = x·y (Función Objetivo)

Condición: 2x+2y = 2

Condición: 2x+2y = 2 ⇒ x+y = 1 ⇒ y =1-x

Función Objetivo: A(x, y) = x·y ⇒ A(x)= x·(1-x) = x-x2

A´(x)=1-2x

A´(x) = 0 ⇒ 1-2x = 0 ⇒ x =1/ 2 m.

A´´(x) = -2 ⇒ A´´(1/2) = -2 < 0 (es un máximo)

Solución: x = 5 dm. e y = 5 dm., siendo Área = 25 dm2.

Cuantía máxima a percibir por el premio = 25 €.

2. Un jardinero dispone de 160 metros de alambre que va a utilizar para cercar una

zona rectangular y dividirla en tres partes. Las alambradas de las divisiones deben

quedar paralelas a uno de los lados del rectángulo. ¿Qué dimensiones debe tener la

zona cercada para que su área sea la mayor posible?

A(x, y) = x·y (Función objetivo)

Condición: 2x+4y = 160

Condición: 2x+4y = 160 ⇒ y = 80

2

− x

Función: A(x, y) = x·y

A(x) = x· 80

2

⎛ − x ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= 40x-

2

2

x

y

x

y y y y

x

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

-. 2/25.-

A´(x) = 40-x ⇒ A´(x) = 0 ⇒ x = 40 m.

A´´(x) = -1 < 0 (el punto es un máximo)

Para x = 40 m. resulta y = 80 40

2

−

⇒ y = 20 m.

Solución: x = 40 m, y = 20 m.

3. Se dispone de 400 metros de alambrada para vallar un solar rectangular. ¿Qué

dimensiones deberá tener el solar para que con esa alambrada se limite la mayor área

posible? Razonar el proceso.

Función: A(x, y) = x·y

Condición: 2x+2y =400

Condición: 2x+2y =400 ⇒ x + y =200 ⇒ y = 200-x

Función: A(x, y)=x·y

A(x) = x·(200-x) = 200x-x2

A´(x) = 200-2x ⇒ A´(x) = 0 ⇒ x = 100 m

A´´(x) = -2 < 0 ⇒ x = 100 es un máximo, siendo y = 200-100=100

Solución: x = 100 e y = 100, es un cuadrado

4. Un terreno de forma rectangular tiene 400 m2 y va a ser vallado. El precio del metro

lineal de valla es de 4 euros. ¿Cuáles serán las dimensiones del solar que hacen que el

costo de la valla sea mínimo?

Perímetro del vertedero: P = 2x+2y

Coste cerca: 4·P = 4(2x)+4(2y) = 8x+8y (función objetivo)

Condición: x·y = 400

Condición: x·y = 400 ⇒ y = 400

x

y

x

...