PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

INFORME

PROBLEMA DE

OPTIMIZACIÓN

ÍNDICE

Contenido

INTRODUCCIÓN 3

PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN 4

SOLUCIÓN 4

1. Utilidad total U(x) 4

2. Utilidad máxima 4

2.1. Valor crítico 5

2.2. Monotonía 5

2.3. Valores Extremos 6

2.4. Interpretación 6

GRÁFICO 6

1. Criterio de la 2ª Derivada 6

2. Concavidad 6

3. Intersección con eje X e Y 7

CONCLUSIÓN 9

INTRODUCCIÓN

En el presente informe se resolverá e interpretará soluciones de problemas de enunciado, específicamente de optimización, el cual se irá realizando paso a paso, para finalmente confeccionar el Gráfico de la función procedente del enunciado.

Si bien es un problema de optimización donde la información que se necesita para dar la solución a éste es la mínima (valores críticos, monotonía y valores extremos), es fundamental recaudar toda la información pertinente para hacer el esbozo, tal como es el criterio de la segunda derivada, la concavidad, entre otros.

PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

La compañía CANAFA Ltda. Fábrica lentes a un costo de $700 cada una. El departamento de Contabilidad calcula que si el precio de ventas es de x pesos la unidad, los vendedores podrán ubicar en el mercado (1.000-x) lentes por día.

Con base en esta información, el Director del Departamento de Marketing necesita calcular:

1. La utilidad total U(x)

2. El precio por unidad que permite lograr una utilidad máxima.

SOLUCIÓN

Primeramente hay que obtener las ecuaciones de ingreso y costo para luego llegar a la ecuación principal que en este caso es la de Utilidad, ya que la Utilidad es igual a los Ingresos menos los Costos.

I(x)= ingreso total C(x)= costo total

= (N° de unidades)*(precio por unidad) = (N° de unidades)*(Costo por unidad)

= 1.000-x*x = 1.000-x*(700)

1. Utilidad total U(x)

* Con estos datos se puede proceder a confeccionar la ecuación de Utilidad [U(x)], la cual queda:

U(x)= Utilidad total

= I(x)-C(x)

= 1.000-xx-1.000-x700

= 1.000x-x2-700.000+700x

= -x2+1.700x-700.000

2. Utilidad máxima

* Una vez obtenida la ecuación de utilidad total se procede a calcular el precio por unidad que permite llegar a la Utilidad Máxima:

3.1. Valor crítico

* Para determinar el máximo valor de U(x) hallamos primero la derivada de U(x):

U’(x)= -2x+1.700

* Luego, igualamos la derivada a cero para encontrar el valor crítico, que en este tipo

de problemas es un posible máximo o mínimo.

U’(x)=0

-2x+1.700=0

-2x=-1.700 / *(-1)

x= 1.7002

x=850 (Posible máximo o mínimo)

3.2. Monotonía

* Posteriormente se evalúa el valor crítico encontrado en U`(x) para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y así verificar si existe un máximo o un mínimo.

- ∞ 850 +∞

U`(0)= -2(0) + 1.700 = 1.700 > 0

U`(890) = -2(890) + 1700 = -80 < 0

+ -

U`(x)>0 en ]-∞, 850[, entonces,

U es creciente en ]-∞, 850[

U`(x)<0 en ]850,

...