Problemas Optimización Dinámica

Parte I. Cálculo de Variaciones

Problema 1

a) Los gráficos de las siguientes funciones pasan por los puntos , en el plano .

•

•

•

• .

Calcular en cada caso el valor de

b) demostrar que el problema de maximizar entre todas las curvas que unen los puntos no tiene solución.

Problema 2

En cada uno de los siguientes casos calcular los extremales que producen un óptimo, y verificar condición de Legendre:

a)

b)

c)

Problema 3

a) Mediante el cálculo de variaciones hallar la curva geodésica (curva de mínima distancia) que une el punto (0,2) y la parábola de ecuación . Calcule dicha distancia.

b) Mediante el cálculo de variaciones hallar la distancia mínima del punto a la recta .

c) Comprobar que el camino más corto desde un punto dado a una curva de ecuación , es una línea recta desde a , perpendicular a la tangente a , en , para algún t1.

Problema 4

En cada caso encuentre la curva x (t) que produce un valor extremo del funcional:

a) Si x (0) = 1, T = 1, x (1) = 2.75

b) Si x (0) = 1, T = 2, x (2) = libre

c) Si x (0) = 1, T = libre, x (T) = 5.

Problema 5

Un hombre está considerando su plan de vida en lo que se refiere a inversión y gastos. El tiene un nivel inicial de ahorros S y no tiene otro ingreso que aquel que obtiene de la inversión a una tasa de interés fija “a”. Se sabe que “r (t)” indica la tasa de gastos y su utilidad inmediata debido al gasto es U(r), donde U es su función de utilidad. En su caso U(r) = r 0.5. Suponga que éste hombre considera que al final del horizonte de tiempo (T) no tiene sentido tener capital. Se pide que formule un modelo de optimización dinámica que le permita maximizar el valor presente del flujo de utilidad en el horizonte temporal dado, si se considera una tasa de descuento relevante de “”.

Problema 6

a) Encuentre la función y(x) que optimiza el siguiente funcional:

b) Encuentre la función x(t) que optimiza el siguiente funcional:

c) Encuentre la función r(z) que optimiza el siguiente funcional:

Problema 7

En cada caso encontrar la solución al problema:

a)

b)

c)

Problema 8

Resolver los siguientes problemas de cálculo de variaciones:

a)

b)

c)

Problema 9

En cada uno de los siguientes ejercicios encontrar la solución, y verificar condición de Legendre:

a)

b)

c)

d)

Problema 10

Mediante el uso del Lagrangiano resolver los siguientes problemas de cálculo de variaciones:

a)

b)

c)

Parte II. Control Óptimo

Problema 1

Aplicando el principio del máximo encuentre la trayectoria de control, la trayectoria de estado, y la trayectoria de coestado que optimizan los siguientes funcionales:

a)

b)

c)

d)

e)

Problema 2

Aplicando el principio del máximo encuentre la trayectoria de control, la trayectoria de estado, y la trayectoria de coestado que optimizan los siguientes funcionales:

a)

b)

Problema 3

Aplicando el principio del máximo resolver el siguiente problema, para los casos

Problema 4

Considere el siguiente problema de control óptimo:

Adicionalmente usted sabe que puede considerar sólo dos trayectorias para el control , que son:

a) para todo t entre 0 y 2.

b) para todo t entre 0 y 2.

¿Con cuál trayectoria se queda? Justifique claramente su respuesta.

Problema 5

Aplicando el principio del máximo encuentre la trayectoria de control, la trayectoria de estado, y la trayectoria de coestado que optimizan los siguientes funcionales:

a)

b)

c)

d)

Problema 6

Un depósito de agua a utilizar para apagar fuegos tiene escapes. Sea la altura del agua. Verifica que: en donde es la afluencia del agua al depósito, en el tiempo t. Se verifica que Se pide: calcular el control óptimo, y la correspondiente trayectoria óptima de altura del agua.

a) Si el objetivo es

b) Si el objetivo es

Problema 7

Considere el siguiente problema de control óptimo:

a) Encontrar óptimos.

b) Muestre que en la trayectoria óptima se cumple que . Según lo anterior ¿qué mide ?

Problema 8

Mediante el uso del Hamiltoniano resuelva los siguientes problemas:

a)

b)

c) d)

Problema 9

Suponga el siguiente modelo ganadero expresado en términos de tiempo continuo, donde t está medido en años:

Donde:

es el número de vacas en el momento t.

es el número de toros en el momento t.

es el número de vacas importadas en el momento t.

Suponga que usted ha decidido vender al final de 5 años a un precio P por cabeza de ganado todo su stock disponible en ese momento. Si el costo por vaca importada es S, y la tasa de descuento relevante es r, plantee el modelo de control óptimo para maximizar el valor presente de los ingresos netos, identificando sus variables, y explicando su función objetivo.

Problema 10

Los ejecutivos de una empresa monoproductora han estimado que para la próxima temporada, la demanda de su producto superará varias veces la capacidad instalada de la empresa, por lo que han decidido adoptar una política de maximizar el stock hasta

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