Optimizacion Dinamica

OPTIMIZACION DINAMICA

La optimización dinámica estudia la obtención de la solución óptima de sistemas dinámicos que evolucionan en el tiempo; a estos sistemas se trata de guiar o controlar de manera óptima a lo largo de un horizonte temporal dado de acuerdo a un objetivo fijado ya que son susceptibles de influencia mediante decisiones externas.

La mejor decisión a tomar depende del horizonte temporal desde el que se contemple el problema a estudiar. Por lo general la decisión óptima en un contexto dinámico no se obtiene mediante una secuencia de las decisiones estáticas óptimas para cada uno de los instantes o períodos que constituyen dicho contexto dinámico. Asimismo, las decisiones óptimas a corto plazo, en general, no coinciden con las decisiones óptimas a largo plazo. La utilización de técnicas de Optimización dinámica permite obtener la solución óptima en cada caso .

Con el desarrollo de esta serie de ejercicios se pretende que el estudiante, al

igual que con los ejercicios de aplicaciones económicas, logre un amplio conocimiento de las herramientas fundamentales que se utilizan en los principales modelos económicos cuyo análisis se basa en la evolución de variables con el paso del tiempo, lo cual es de gran importancia en la toma de decisiones basadas en los principios de optimización.

88. (i) Solucione el siguiente problema

s.a

(ii) Haga un diagrama de fase.

Solución:

(i)

Las constantes resultan ser:

(ii) El diagrama y las ecuaciones indican que si r – p > 0, se tiene un nudo inestable y si r – p < 0, un punto silla.

89. Un trabajador labora T años, recibe ingresos por salarios a una tasa constante w, intereses sobre ahorro/préstamo a una tasa r. Su stock de capital

es K, su consumo C y sus ahorros . Su ingreso lo ahorra o lo consume. Se supone que K(0) = K(T) = 0. El objetivo es maximizar su utilidad por consumo

U(C) = log C a tiempo presente, donde la tasa de descuento es p.

(i) Encuentre las trayectorias para K y C. ¿Cuál es la variable de control y cuál la de estado?

(ii) Ilustre la solución en un diagrama de fase. 4.

Solución:

(i) La variable de control es C y la de estado K.

y

Las constantes se determinan con la condición inicial y terminal.

(ii) El diagrama de fase indica que si que si r – p < 0, se trata de un punto silla, mientras que si r – p > 0 se tiene un nudo inestable.

90. Suponga un problema de Control optimo consiste en

(i) Analice la solución y diga las características del punto de equilibrio y sus

trayectorias.

(ii) Convierta el problema en uno de tipo (OD3) y establezca la ecuación de

EULER. Recálcale la solución y compare con la parte (i)

Solución:

(i) Dado que la solución cumple el sistema de ecuaciones lineales

(ii) La ecuación de EULER lleva a

93. Una empresa recibe un pedido por N unidades para ser producidas en un intervalo de tiempo T. Debe diseñar un plan de producción para cumplir con el pedido que por un lado minimice los costos y por el otro lado tome en cuenta los costos unitarios de producción que crecen linealmente con la tasa de producción. A su vez los costos unitarios de mantener inventarios por unidad de tiempo son constantes. Sean x(t) los inventarios acumulados hasta el momento t.

El nivel de inventarios es toda la producción hasta el momento. La tasa de producción es la tasa de cambio del nivel de inventarios x (t). Los costos totales se obtienen entonces de dos componentes:

Costos de producción:

Costos de mantener inventarios:

Donde son los costos constantes por unidad de producir y mantener inventarios respectivamente.

(i) Formule el problema como un problema de Optimización dinámica.

(ii) Muestre que si se produce a una tasa uniforme , los costos totales

son:

(i) Muestre que existe una mejor manera de minimizar costos. ¿Cuál? Se supone que inicialmente no hay inventario y que al final del periodo debe cumplirse el pedido.

Solución:

(i)

(ii) Reemplace en la anterior integral.

(iii) Utilice optimización dinámica y mostrando que para

Los costos totales son

92. En un determinado mercado hay un productor dominante que impone un precio. La tasa de entrada de rivales es una función del precio del producto. Sean p(t) el precio impuesto, c los costos promedio (constantes) y x(t) el nivel

de ventas de los rivales. La demanda del producto dominante es

La tasa de entrada de los rivales es

(i) Formule el problema de maximización de beneficio como un problema de

Optimización dinámica, suponiendo una tasa de descuento a tiempo presente de p. Inicialmente x(0)=x0 y se considera un tiempo terminal T fijo como x(T)=xT también fijo.

(ii) Muestre que si el productor dominante baja su precio hasta induciendo que los rivales entren al mercado. Al contrario si ,

lo optimo es poner el precio por debajo de . Tómese en cuenta que los costos totales son cq.

Solución:

(i)

Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones en x-p:

Donde es una constante. El diagrama de fase muestra que estamos en presencia de un punto se silla.

93. Encuentre una trayectoria optima para

Solución:

. Por Lengendre es un Max.

95. Suponga que el objetivo del gobierno es maximizar

donde x(t) es la tasa de inflación, u(t) el nivel de desempleo, la tasa “natural” de desempleo y z(t) la tasa de crecimiento de la oferta de dinero. Se conoce que x(0) = 0 y que

Existe una relación de tipo Phillips

(i) Formule el problema en términos de un problema de optimización dinámica.

Calcule el hamiltoniano y utilice la VMC.

(ii) Encuentre el punto de equilibrio y analice su estabilidad. ¿Que sucede si presentan cambios en p, α, β o δ?

(iii) Escribiendo las condiciones de Hamilton como un sistema de ecuaciones diferenciales, calcule los valores propios. ¿Bajo qué condiciones es el sistema estable?

Solución:

(i) s.a.

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