Optimizacion

EJERCICIO 1.- Cercado

El propietario del Vivero Laurel quiere cercar un terreno de forma rectangular de 1000 pies cuadrados de área, para usarlo para diferentes tipos de arbustos.

El terreno será dividido en cuatro lotes iguales, con tres cercas paralelas a uno de los lados, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el número mínimo de pies de cerca necesarios?

b

h

1000 pies2

Solución:

Dimensiones de los lados: Largo= b ancho= h

MIN Perímetro= 2b + 5h

A = b . h

Sujeto a  1000 = b . h de donde: b= 1000 / h

Donde el área es un dato constante,

MIN P = 2(1000/h)+ 5h = 2000/h+ 5h = (2000+5h^2)/h

MIN P = (5h^2+ 2000)/h

P´= (h (10h)- (5h^2+2000))/h^2 = (10h^2- 5h^2-2000)/h^2

P´= (5h^2- 2000)/h^2  Valores críticos P’ = 0 = □(0/c)  5h2 – 2000 = 0

5h2= 2000 ; de donde h>0

h = 20 pies

b = 1000/h= 1000/20

b = 50 pies

P´´= (h^2 (10h)- (5h^2-2000)(2h))/h^4 = (10h^3- 10h^3+ 4000h)/h^4

P´´= 4000/h^3 como h = 20, entonces P´´ = (+/+) > 0 lo que nos da un valor MÍNIMO

b= 50 pies P = 2(50) + 5(20)

h= 20 pies MIN. P = 200 pies

EJERCICIO 2.- Costo promedio

Un fabricante determina que el costo total, c, de producir un producto está dado por la función de costo c= 0,05q2 + 5q + 500.

Para qué nivel de producción será mínimo el costo promedio por unidad?

Solución:

Variable independiente q como nivel de producción.

La cantidad por minimizar es el costo promedio č. La función de costo promedio es

č = c/q= (0,05 q^2+ 5q+500)/q=0,05q+5+ □(500/q) (ec. 2)

Aquí q debe ser positiva. Para minimizar č, derivamos:

Č´= 0,05 - 500/q^2 = (0,05q^2- 500)/q^2  Valores críticos č’ = 0 = □(0/c)  5q2 – 500 = 0

0,05q2 = 500

q = 100 (ya que q>0)

č’’ = (0,05 q^2- 500)/q^2 = (q^2 (0,1q)- (0,05q^2- 500)(2q))/q^4 = (0,1q^3-0,1q^3+ 1000q)/q^4

č’’ = 1000/q^3 como q = 100, entonces č´´ = (+/+) > 0 lo que nos da un valor MÍNIMO

Sustituyendo en (ec.2) tenemos:

č = c/q= 0,05(100)+5+ □(500/100)

č MIN. = 15

EJERCICIO 3.- Ingreso

La ecuación de la demanda para el producto de un monopolista es

p = - 5q + 30.

A qué precio se maximizará el ingreso?

Solución:

Variable independiente q como número de unidades.

La cantidad por maximizar es I el ingreso total.

Sujeto a  p = - 5q + 30

Como ingreso = (precio) (cantidad),

tenemos

I = p.q = (-5q + 30) . q

MÁX I = -5q2 + 30q

I’ = -10q + 30  Valores críticos I’ = 0  -10q + 30 = 0

q = 3

I’’= - 10 ŧ 0

- 10 < 0, por lo que q = 3 da el ingreso I MÁXIMO.

Encontramos p sustituyendo en la ec. Inicial  p = -5 (3) + 30

p = 15

Por lo tanto I MÁX. = p . q = 15 (3)

I MÁX. = 45

EJERCICIO 4.- Utilidad

Para el producto de un monopolista, la función de demanda es

p = 72 – 0,04q

y la función de costo es

c = 500 + 30q.

¿A qué nivel de producción se maximiza la utilidad?

¿A qué precio ocurre esto y cuál es la utilidad?

Solución:

Variable independiente q como número de unidades.

La cantidad por maximizar es la utilidad U.

Sujeto a  p = 72 – 0,04q (ec. 1)

c = 500 + 30q. (ec. 2)

Sabemos que utilidad = ingreso total – costo total

MÁX. U = (q . p) – c

U = [q (72 – 0,04q)] – (500 + 30q)

= 72q – 0,04q2 – 500 – 30q

U = -0,04q2 + 42q – 500 (ec. 3)

U’= -0,08q + 42 Valores críticos  U’= 0 = -0,08q + 42

q = 525

U’’= -0,08 ŧ 0

- 0,08 < 0, por lo que q = 525 nos da la utilidad U MÁXIMA.

El precio en que ocurre la utilidad máxima se obtiene haciendo q = 525 en la ecuación de la demanda (ec.1).

p = 72 – 0,04(525)

p = 51 $ ahora, sustituyendo q en (ec. 3)

U MÁX. = -0,04 (525)2 + 42 (525) – 500

U MÁX. = 10.525 $

EJERCICIO 5.- Utilidad

Para el producto de un monopolista la ecuación de demanda es

p = 42 – 4q,

y la función de costo promedio es

č = 2 + □(80/q.)

Encuentre el precio que maximiza la utilidad.

Solución:

Variable independiente q como número de unidades.

La cantidad por maximizar es la utilidad U.

Sujeto a  p = 42 – 4q (ec. 1)

č = 2 + □(80/q.) (ec. 2)

Sabemos que ingreso total = (precio) (cantidad),

Itotal = p.q = (42 - 4q) . q = 42q – 4q2

costo total = q . č

c = q (2+ 80/q)=2q+80

utilidad = ingreso total – costo total

MÁX. U = Itotal – c = (42q – 4q2) – (2q + 80) = -4q2 + 40q – 80 (ec. 3) donde q > 0

U’= -8q + 40 Valor crítico  U’= 0 = -8q + 40

q = 5

U’’ = - 8 ŧ 0

- 8 < 0, por lo que q = 5 nos da la utilidad U MÁXIMA.

El precio en que ocurre la utilidad máxima se obtiene haciendo q = 5 en la ecuación de la demanda (ec.1).

p = 42 – 4(5)

p = 22 $ ahora, sustituyendo q en (ec. 3)

U MÁX. = - 4 (5)2 + 40 (5) – 80

U MÁX. = 20 $

EJERCICIO 6.- Ingreso

Una empresa de televisión por cable tiene 4800 suscriptores que pagan cada uno $18 mensuales, y puede conseguir 150 suscriptores más por cada reducción de $0,50 en la renta mensual. ¿Cuál será la renta que maximice el ingreso y cuál será este ingreso?

Solución:

x como número de reducciones de $0,50 en la renta mensual.

Variable independiente cuota mensual  18 – 0,50x (donde 0 ≤ x)

La cantidad por maximizar es el ingreso I.

Sujeto a  # total de suscrip.  4800 + 150x

# de suscrip.

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