Problemas

97.-Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para calcular la máxima y

mínima distancia del punto (2,1,-2) a la esfera cuya ecuación es x2 + y = 1 (por

supuesto, la respuesta se podría obtener más fácilmente utilizando un argumento

geométrico simple).

Con ƛ =4 x=2/(-3) ; y=1/(-3) ; z=2/3

Calculando la distancia:

((-2)/3, (-1)/3, 2/3 ) y(2,1,2)

√((2+2/3)^2+(1+1/3)²+〖(-2-2/3)〗^2 ) = √((8/3)^2+(4/3)²+〖((-8)/3)〗^2 )

√(64/9+16/9+64/9)=√(144/9)=12/3=4

Solución 2 y 4.

99.A las 9 de la mañana un termómetro que marca 70°F es llevado fuera, donde la

temperatura mide 15°F. Cinco minutos después, el termómetro marca 45°F. A las 9:10

a.m., el termómetro es regresado al interior, donde la temperatura es fija a 70°F.

Encuentre a) la lectura marcada a las 9:20 a.m., y b) al grado más cercano, calcule

cuándo mostrará la lectura la temperatura correcta de la habitación (70°F).

Resolver la primera parte con la ley de enfriamiento de newton.Consideraremos que la temperatura T es función del tiempo t y la rapidez con la que se enfria un objeto es proporcional a la diferencia que existe entre la temperatura del objeto y la temperatura del medio solo si consideramos que la temperatura del medio no cambia y siempre se mantiene en 15°F

T(0)=70°F

T(5)=45°F

Tmedio=15°F

La ecuación diferencial de esta ley es

dT/dt=k(T-Tm)

Resolución de la ecuación diferencial por el método de separación de variables

∫_70^45▒dT/(T-Tm)=k∫_0^5▒dt

5k=ln⁡(6/11)

Así obtenemos la k de proporcionalidad

k=(ln⁡(6/11))/5

Se sustituye el valor de la constante en la ecuación original.

dT/(T-Tm)=(ln⁡(6/11))/5 dt

Al resolver la ecuación

ln⁡(T-15)=(ln⁡(6/11))/5 t+C

La constante de integración se obtiene con la condiciones iníciales del problema T=70 y t=0 sustituidas en la ecuación anterior así obteniendo C=ln(55)

Y se puede reescribir del siguiente modo

ln⁡(T-15)=(tln⁡(6/11))/5+ln55

ln⁡(T-15)=ln⁡[55(6/11)]^(t⁄5)

T-15=55(6/11 )^(t⁄5)

Y resulta en la función

T(t)=15+55(6/11 )^(t⁄5)

Para saber la temperatura del termómetro a las 09:10 sustituimos t=10

T(10)=15+55(6/11 )^(10⁄5)

T=31.36°F

La temperatura del cuarto es 70°F y el termómetro es regresado con T(0)=31.36°F

Ahora se debe resolver la ecuación diferencial

dT/(T-70)=(ln⁡(6/11))/5 dt

∫▒dT/(T-70)=∫▒〖(ln⁡(6/11))/5 dt〗

ln⁡(70-T)=(ln⁡(6/11))/5 t+k

Para obtener k utilizamos las condiciones iníciales T(0)=31.36

k=ln⁡(38.64)

ln⁡(70-T)=(ln⁡(6/11))/5

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