Procedimiento Administrativo

APLICACIONES DE LA INTEGRAL

Cálculo del área de la superficie que determinan dos curvas al cortarse

Si en un intervalo (a, b) dos funciones f(x) y g(x) cumplen que f(x) >= g(x), entonces

representa el área de la superficie que encierran las dos curvas.

En la figura, se ha llamado A, B, C y D a las áreas de las cuatro regiones que dos curvas f(x) y g(x) determinan con el eje de abscisas. Teniendo en cuenta que C es el área de una zona situada por debajo del eje X:

Para calcular el área encerrada por dos curvas se han de seguir, primeramente, estos pasos:

• Se trazan las curvas.

• Se señalan los puntos en los que se cortan las curvas.

• Se determina la zona de la que hay que calcular el área.

• Dependiendo de los resultados que se obtengan en los tres puntos anteriores, se procede a calcular las áreas de distintas zonas, entre los límites de integración apropiados. Así, por ejemplo, en la figura anterior la zona encerrada entre las dos curvas es B + C.

Para calcular su área se procede así:

Para obtener el área de la zona B + C hay que restar las áreas de A y D y sumar el área de C.

(En C se pone el signo - delante porque al estar g(x) entre c y d por debajo del eje X su integral sería negativa.) Por tanto:

Ejercicios:

 Hallar el área de la superficie que determinan las curvas f(x) = 4x - x2 y g(x) = x.

Resolución:

1. Trazado de las curvas:

2. Puntos de corte de las dos curvas:

3. La zona de la que hay que calcular el área es la zona coloreada. Si se llama A al área de la parábola entre x = 0 y x = 3 B al área del triángulo que determinan la recta

y = x, el eje de abscisas y la recta x = 3 y S el área que se quiere calcular, es evidente que

S = A - B

El área también se podría haber calculado así:

‚ Calcular el área de la superficie que encierran las curvas f(x) = 6x - x2 y

g(x) = x2 - 2x.

Resolución:

1. Trazado de las curvas:

• Máximos y mínimos de f(x):

• Máximos de mínimos de g(x):

2. Puntos de corte de f(x) y g(x):

Puntos (0, 0) y (4,8)

3. Se ha de calcular el área de la zona rayada.

Puesto que en el intervalo (0, 4) f(x) > g(x), el área pedida es:

ƒ Calcular el área del círculo de radio r .

Resolución:

• Para simplificar se supondrá la ecuación de la circunferencia de centro (0, 0) y radio r:

• Para más comodidad, y sin que ello afecte a la solución del problema, se calculará el área del

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