Proceso De Poison

PROCESOS DE POISSON

El proceso de poisson es una distribución de probabilidad discreta. Ella expresa, por ejemplo, la probabilidad de que un correcto número de eventos ocurra en un periodo de tiempo, si estos ocurren con una tasa media de tiempo conocido y si cada eventos es independiente del tiempo trascurrido desde el ultimo evento.

El uso más frecuente en el que se una surge en situaciones en las cuales los eventos ocurren a lo largo del tiempo, como por ejemplo la ocurrencia que tienen los terremotos, las personas que ingresan en un banco……

Suponiéndose que los eventos tienen una ocurrencia en ciertos instantes(es decir aleatorios) de tiempo y que, para una constante positiva se satisface:

1) La probabilidad que ocurra exactamente un evento en un intervalo dado de longitud h es igual a h + o(h), donde o(h) es cualquier función f(h) tal que

2) La probabilidad que ocurran dos o más eventos en un intervalo dado de longitud h es igual a o(h).

3) An, Aj1,…., jn y cualquier conjunto de n intervalos disjuntos, se define el suceso Ei: exactamente ji eventos ocurren en el i–esimo intervalo”, entonces los sucesos E1,…., En son independientes.

Bajo las hipótesis 1), 2) y 3), el número de eventos que ocurren en un intervalo de longitud t es una v.a. con distribución P( t).

Demostramos: Sea [0; t] el intervalo considerado y N(t) el número de eventos que ocurren en ese intervalo. Dividamos el [0; t] en n sub-intervalos no yuxtapuestos, cada uno de longitud t/n:

Sea k <= n, podemos considerar la siguiente partición: A: k sub-intervalos contienen exactamente 1 evento y los otros n-k no contienen ninguno y B: al menos un sub-intervalo contiene 2 o más eventos. Entonces:

Sea Ci el suceso el i–esimo sub-intervalo contiene 2 o más eventos, entonces

Y

Ahora, si n -> , t/n ->0, entonces o(t/n)/t/n ->0 y por lo tanto

Por otro lado,

Entonces

Cuando n tiende a infinito,

Y,

Por lo tanto, haciendo tender n a infinito, se obtiene

Como procesos de poisson también podemos tener:

1) Proceso de Poisson Homogéneo.

2) Proceso de Poisson compuesto.

3) Proceso de Poisson no homogéneo.

Proceso de Poisson Homogéneo

Una colección de variables aleatorias {N (t); t >= 0} (definidas en un espacio de probabilidad ) Se llama proceso de Poisson (homogéneo) con intensidad > 0 si satisface las siguientes propiedades:

1) P(N(0) = 0) = 1, esto es, N(0) es siempre 0.

2) tiene distribución de Poisson de parámetro (t

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