Productos directos y grupos abelianos Actividad 2. Demostraciones

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Unidad 1. Productos directos y grupos abelianos Actividad 2. Demostraciones

Los productos directos nos permiten de alguna forma reescribir los grupos en términos de otros más sencillos y a la vez generar nuevos grupos que heredan algunas características de sus grupos base.

Objetivo

En esta actividad trabajaremos las características básicas de producto directo y su relación con los grupos abelianos finitos.

Instrucciones

Revisa los materiales de apoyo dados y realiza las siguientes demostraciones.

Esta es una actividad en la que se intenta revisar el manejo de los conceptos mencionados en los contenidos de la unidad por lo que se pide que si existe alguna duda en los términos, conceptos o procedimientos, lo hagas saber mediante el foro para que entre todos podamos ir completándola. Se intenta que sea una actividad colaborativa.

Definición 1 Si H y K son grupos, el producto directo [externo] de H y K denotado como H × K, es el conjunto de todos los pares ordenados (h,k) tales que h ∈ H y k ∈ K con la operación binaria

(h,k)(h0,k0) = (hh0,kk0).

1. Revise la propiedad de que G×H ∼= H ×G Demuestre que efectivamente la aplicación ϕ = G × H → H × G es un isomorfismo, tenga cuidado en los detalles, en específico en la definición del morfismo.

      Si tenemos en consideración que  es definida de la forma: [pic 6][pic 7]

Así tenemos que para que  sea un isomorfismo debe presentar y cumplir que sea un homomorfismo biyectivo.[pic 8]

Entonces tenemos que el homomorfismo

  [pic 9][pic 10][pic 11]

Tenemos que para la linealidad:

[pic 12]

[pic 13]

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Ahora tenemos para la inyectividad

Teniendo que: [pic 16]

  [pic 17][pic 18]

Cuando existen dos pares ordenados son exactamente iguales si sus coordenadas correspondientes son iguales  y [pic 19][pic 20]

Lo que implica:

[pic 21]

Dado un elemento arbitrario  entonces observamos que [pic 22][pic 23]

Se considera un homomorfismo biyectivo por la condición:

[pic 24]

                                           [pic 25]

1. Demuestre que H ×{1} y {1}×K son subgrupos normales de H ×K que estos subgrupos generan H × K, que su intersección es {(1,1)} y que los elementos (h,1) y (1,k) conmutan.

Primero definimos:

[pic 26]

[pic 27]

Utilizamos el primer teorema del isomorfismo para demostrar que  y  son subgrupos normales de .[pic 28][pic 29][pic 30]

Notamos que  es un subgrupo de   que contiene a , que es definida como la identidad de, la cual se cierra bajo la multiplicación:[pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]

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