Proposiciones

PROPOSICIONES

El concepto de preposición se puede definir como una frase, a la cual, se le puede asignar dos valores: que puede ser verdadera, o puede ser falsa, pero no ambas al tiempo. La verdad o falsedad de dicha proposición se le llama su valor de verdad.

Algunas proposiciones se pueden componer de dos o varias proposiciones simples, las cuales, toman el nombre de proposiciones compuestas. Comúnmente se representan mediante las letras: « p, q, r, s...etc. »

Ej. 1: p: 7 es un número par; q: 2 + 2 = 4; y r: 2 es un número impar.

Como puedes darte cuenta, p, q y r, tienen valores de verdad. De manera que la proposición p, su valor de verdad será Falso, pues 7 no es un número par. Para la proposición q, su valor de verdad será verdadero, siempre y cuando estemos hablando del sistema decimal. El valor de verdad para r, será falso, pues 2 no es un número impar.

Ej. 2: ¿Cómo estás?

Para esta expresión no es posible asignar un valor de verdad, no podemos decir que es falso, o bien, verdadero. De manera que no se trata de una proposición.

Ej. 3: Pedro está enfermo o viejo.

Esta expresión está formada por dos proposiciones simples: «Pedro está enfermo» y la otra proposición, «Pedro es viejo». Se trata de una proposición compuesta, donde su valor de verdad, está determinado por completo por el valor de verdad de cada uno de las proposiciones simples, y por el modo de como se les reúne para formar la proposición compuesta. De manera que, la primera proposición: «Pedro está enfermo», le podemos asignar un cierto valor de verdad, o bien es verdadero, o bien es falso.Para la segunda proposición: «Pedro es viejo»también se le puede asignar su valor de verdad: falso o verdadero. La manera en que van a estar unidas ciertas proposiciones simples, para dar forma a proposiciones compuestas, será determinado rotundamente por el uso de conectivos.

TIPOS DE PROPOSICIONES

Cuando hablemos de proposiciones, éstas serán lógicas. Para operar con las proposiciones, éstas se clasifican en dos tipos: Simples y Compuestas, dependiendo de cómo están conformadas.

Proposiciones Simples: Son aquellas que no tienen oraciones afectadas por negaciones ("no") o términos de enlace como conjunciones ("y"), disyunciones ("o") o implicaciones "sí. . . entonces"). Pueden aparecer términos de enlace en el sujeto o en el predicado, pero no entre oraciones.

Proposiciones Compuestas: Una proposición compuesta está formada por dos o más proposiciones simples. Es decir, si está afectada por negaciones o términos de enlace entre oraciones componentes.

1) Carlos Fuentes es un escritor. (Simple)

2) El 14 y el 7 son factores del 42. (Simple)

3) El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del 42. (Compuesta)

4) El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48. (Compuesta)

5) Si x es número primo, entonces x impar. (Compuesta)

Los conectores lógicos

Conjunción: Cuando dos proposiciones simples se combinan mediante la palabra « y », la proposición compuesta resultante se le llama conjunción. Para la conjunción usaremos el símbolo lógico (^). De esta manera, se tiene que la nueva proposición p ^ q se llama conjunción de « p y q ».

Ahora, el valor de verdad, para la conjunción de dos proposiciones cualesquiera, «p y q» será de la siguiente manera: p ^ q debe ser verdadera, si, y solamente si, tanto p, como q, son verdaderas. De manera que, si al menos, una de las proposiciones simples es falsa, entonces, el valor de verdad para p ^ q, es falso.

Ejemplos sencillos para comprender el estudio de la conjunción:

1.- Si p es la proposición: «1 es un número impar» y q es la proposición: «3 es un número primo», entonces p ^ q será la proposición: «1 es un número impar y 3 es un número primo». En donde se observa que p ^ q su valor de verdad es verdadero, pues tanto p: «1 es un número impar», como q: «3 es un número primo», ambos son verdaderos.

2.- Si p es la proposición: «París está en Francia» y q es la proposición: «2 es un número impar», entonces la proposición: p ^ q será «París está en Francia y 2 es un número impar», donde su valor de verdad es: falso, pues el valor de verdad de q: «París está en Francia», es verdadero, pero el valor de q: «2 es un número impar» es falso.

Disyunción: Se emplea la palabra «o» en el sentido inclusivo, como el término y/o.

Entonces una proposición del tipo «p o q» se toma siempre como «p o q ó ambas». Dado esto admitimos la frase compuesta como una proposición.

Simbólicamente la denotaremos escribiendo p v q. A esta nueva proposición compuesta se le llama Disyunción, de modo que la proposición p v q se llama disyunción de p y q.

El valor de verdad de la proposición compuesta p v q cumple la condición siguiente:

Si p es verdadero o q es verdadera, entonces p v q es verdadero; en cualquier otro caso p v q es falso. Es decir la disyunción de dos proposiciones es falsa solamente si cada proposición componente es falsa.

Ejemplos sencillos para comprender el estudio de la Disyunción

1.- Si p es la proposición «2 es un número par» y q es la proposición «3 es un número primo», entonces la disyunción p v q será la proposición «2 es un número par o 3 es un número primo». Donde el valor de la disyunción es verdadero pues tanto p y q son ambas verdaderas.

2.- Si p es la proposición «2 < 3» y q es la proposición «4 es un número primo». Entonces la disyunción p v q es la proposición: «2 < 3 o 4 es un número primo». Donde el valor de verdad de p v q es verdadero, pues p «2 < 3» es verdadero, y q «4 es un número primo» es falso. Con esto se observa: si al menos una de las proposiciones que forman la disyunción p v q es verdadera, entonces el valor de la disyunción es verdadera.

3.- Si p es: «París se encuentra en Inglaterra» y q es: «2 + 2 = 5», luego entonces el valor de la disyunción p v q será falso, pues tanto p como q, son falsas.

Negación

Si p es una proposición fundamental, de ésta se puede formar otra proposición, que se le llama Negación de p, escribiendo: «Es falso que» antes de p, ó, cuando es posible, se inserta en p la palabra «No». Simbólicamente denotaremos a la negación por ~p, aunque existen varias maneras de hacerlo, algunos autores usan las notaciones para la negación de una proposición p como: ¬p,-p, etc...

El valor de verdad de la negación de una proposición fundamental depende de la condición

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