¿Qué Tan Probable Será?

¿Qué tan probable será?

Introducción

El siguiente trabajo tiene como objetivo responder a una serie de ejercicios con el fin de aplicar los conocimientos adquiridos en esta fase de la materia, referidos al estudio de Probabilidades.

Desarrollo

A continuación se presentan los diferentes ejercicios:

Ejercicio 1

La combinación de las calificaciones verbales y de matemáticas de mujeres que toman la prueba SAT-1 se distribuye de manera normal, con una media de 998 y una desviación estándar de 202 (de acuerdo con los datos del College Board). El College of Westport incluye una calificación mínima de 1100 entre sus requisitos. Calcula:

a. ¿qué porcentaje de mujeres no satisface este requisito?

b. ¿qué porcentaje de mujeres si satisface este requisito? Si se cambia el requisito a “una calificación que éste dentro del 40% superior”

c. ¿cuál es la calificación mínima que se requiere?

d. ¿qué dificultad práctica se crearía si se anunciara que el nuevo requisito es ubicarse en “el 40 % superior?.

RESPUESTAS

A continuación haremos una representación gráfica del problema que vamos a solucionar Figura 1

Figura 1

P( 1099 > x ) está representada por el área sombreada en la Figura 2, la cual representa las mujeres que no alcanzan la calificación de 1100.

Figura 2

La variable x la estandarizamos aplicando la formula .

Cuando el valor de x = 1099;

Para z = 0.5, localizamos en el renglón identificado como 0.5 y la columna identificada como 0; en su intersección se encuentra el valor 0.69146, la medida del área o probabilidad para el intervalo hasta z = 0.5. Expresado como una probabilidad: P( 1099 > x ). Véase la tabla con los valores determinados.

Como respuesta al inciso a) tenemos que el porcentaje de mujeres que no satisface el requisito de estar por encima de la calificación mínima de 1100 puntos es de 69.1%.

Entonces para el inciso b) la respuesta la determinamos restando del la unidad, que representa el área total bajo la curva normal, el valor obtenido de z ( 0.69146 ), y nos da 0.30854. Este valor representa el 30.9%. de mujeres que si satisface el requisito.

En el inciso c) se plantea un cambio en el requisito donde la calificación tiene que estar dentro del 40% superior, para este caso determinamos la calificación mínima para cumplir con el nuevo requisito.

Como estamos usando la tabla de desplazamiento hacia la izquierda, hacemos el cálculo con la sección de porcentaje restante que es 60%. Así llevamos ese valor (0.60) a la tabla, si no esta se toma el más cercano, en este caso se tomo el 0.59871 y determinamos el valor estandarizado de z que es 0.25 (ver Tabla 1), luego sustituimos los valores en la formula donde se ha despejado x, y determinamos su valor, el cual representa la mínima calificación de ese 40% superior.

, o sea

Tabla 1

Entonces con el cambio la calificación mínima ahora que se requiere es de 1049.

La respuesta para el inciso d) sobre qué dificultad práctica se crearía si se anunciara que el nuevo requisito es ubicarse en el 40 % superior, en este caso diríamos que el cambio representa una ventaja para las damas ya que habría un 9.2% adicional que se incorporarían a las filas de las que satisfacen el requisito, considerando que antes del cambio solo cumplían el requisito el 30.9%. Ahora desde otro punto de vista es posible que el College tenga una estrategia de filtro probabilístico para controlar el número de participantes para no exceder el límite del cupo establecido y puede que con este adicional de 9,2% sobrepase el cupo y si represente una dificultad practica.

Ejercicio 2

El programa de televisión 60 minutos, de la CBS, ha logrado éxito por muchos años. Recientemente registro una audiencia de 20, lo que significa que de todos los televisores en uso el 20 % se sintonizan en 60 minutos (según datos de Nielsen Media Research). Supón que un anunciante desea verificar dicho valor del 20 %, realizando su propia encuesta, y que inicia una encuesta piloto con 10 hogares que tienen la televisión encendida en el momento en que se trasmite el programa 60 minutos:

a. Calcule la probabilidad de que ninguno de los hogares este sintonizando el programa 60 minutos;

b. Calcule la probabilidad de que al menos uno de los hogares este sintonizando el programa;

c. Calcule la probabilidad de que a lo sumo uno de los hogares este sintonizando 60 minutos.

d. Si a lo sumo un hogar está sintonizando 60 minutos, ¿será correcto el valor de audiencia de 20%? ¿Por qué?

*Considera una distribución Binomial.

RESPUESTAS

Aunque en el planteamiento del problema se menciona que se debe considerar una distribución Binomial haremos como practica la verificación de que el proceso atiende a esa distribución:

1.- El numero de ensayos es fijo ya que van a ser solo diez (10) los hogares encuestados que tengan la TV encendida a la hora de pasar el programa 60 minutos y se les preguntará si tienen sintonizado ese programa.

2.- Observamos que las diez entrevistas son independiente, ya que la respuesta del entrevistado no interfiere en la probabilidad de que otra pregunta sea positiva o negativa.

3.- Cada uno de las 10 encuestas tiene 2 resultados posibles(si o no).

4.- Para cada entrevista hay 2 respuestas posibles por lo tanto la probabilidad de cada uno es de 1/2 o sea 50%.

5.- La probabilidad de cada uno de las 10 entrevistas permanece constante.

...