Regresion Lineal

probabilidad y estadistica

En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modela la relación entre una variable dependiente Y, las variables independientes Xi y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:

: variable dependiente, explicada o regresando.

: variables explicativas, independientes o regresores.

: parámetros, miden la influencia que las variables explicativas tienen sobre el regresando.

donde es la intersección o término "constante", las son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.

El modelo de regresión lineal

El modelo lineal relaciona la variable dependiente Y con K variables explicativas (k = 1,...K), o cualquier transformación de éstas, que generan un hiperplano de parámetros desconocidos:

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donde es la perturbación aleatoria que recoge todos aquellos factores de la realidad no controlables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es la que confiere al modelo su carácter estocástico. En el caso más sencillo, con una sola variable explicativa, el hiperplano es una recta:

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El problema de la regresión consiste en elegir unos valores determinados para los parámetros desconocidos , de modo que la ecuación quede completamente especificada. Para ello se necesita un conjunto de observaciones. En una observación cualquiera i-ésima (i= 1,... I) se registra el comportamiento simultáneo de la variable dependiente y las variables explicativas (las perturbaciones aleatorias se suponen no observables).

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Los valores escogidos como estimadores de los parámetros, , son los coeficientes de regresión, sin que se pueda garantizar que coinciden con parámetros reales del proceso generador. Por tanto, en

(5)

Los valores son por su parte estimaciones de la perturbación aleatoria o errores.

[editar] Hipótesis modelo de regresión lineal clásico

1. Esperanza matemática nula.

Para cada valor de X la perturbación tomará distintos valores de forma aleatoria, pero no tomará sistemáticamente valores positivos o negativos, sino que se supone que tomará algunos valores mayores que cero y otros menores, de tal forma que su valor esperado sea cero.

2. Homocedasticidad

para todo t

Todos los términos de la perturbación tienen la misma varianza que es desconocida. La dispersión de cada en torno a su valor esperado es siempre la misma.

3. Incorrelación. para todo t,s con t distinto de s

Las covarianzas entre las distintas pertubaciones son nulas, lo que quiere decir que no están correlacionadas o autocorrelacionadas. Esto implica que el

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