Sistema De Ecuacionde Lineales

Sistemas lineales reales

En esta sección se analizan las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales sobre el cuerpo R, es decir, los sistemas lineales en los cuales los coeficientes de las ecuaciones son números reales.

Representación gráfica

La intersección de dos planos que no son paralelos ni coincidentes es una recta.

Un sistema con n, incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.

En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta, si es lineal, o por una curva, si no lo es. La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas y curvas que representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.

En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un único punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.

Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta óptica.

Tipos de sistemas

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

Sistema incompatible si no tiene solución.

Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:

Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.

Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.

Quedando así la clasificación:

mathrm{Tipos ; de ; sistemas} begin{cases} mathrm{Compatible} begin{cases} mathrm{Determinado}\ mathrm{Indeterminado} end{cases}\ mathrm{Incompatible} end{cases}

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:

mathrm{Sistema ; compatible ; determinado} Longleftrightarrow det(mathbf{A}) ne 0

Sistemas compatibles indeterminados

Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:

left { begin{matrix} x & + 2y & = 1 \ 2x & + 4y & = 2 end{matrix} right .

Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es -0,5, y que pasa por el punto (-1,1),, por lo que ambas intersecan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.

En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemática del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.

Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero (y por tanto uno de sus autovalores será 0):

mathrm{sistema ; compatible ; indeterminado} Rightarrow det mathbf{A} = 0

De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de un sistema compatible indeterminado es un subespacio vectorial. Y la dimensión de ese espacio vectorial coincidirá con la multiplicidad geométrica del autovalor cero.

Sistemas incompatibles

De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:

left { begin{matrix} x & + 2y & = 4 \ 2x & + 4y & = 7 end{matrix} right .

Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.

Matemáticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero:

mathrm{sistema ; incompatible} Rightarrow det mathbf{A} = 0

Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales

Sustitución

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

left { begin{matrix} 3x & + y & = & 22 \ 4x & - 3y & = & -1 end{matrix} right .

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita y , por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

y = 22 - 3x ,

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita y , en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la x , .

4x - 3(22 - 3x) = -1 qquad Rightarrow 4x - 66 + 9x = -1 qquad Rightarrow 13x -66 = -1, qquad Rightarrow 13x = 65 ,

Al

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