TRABAJO COLABORATIVO 2

6. Realice un (1) ejercicio de libre escogencia solucionado paso a paso para cada uno de las siguientes lecciones.

Lección 17: Integrales impropias con límites de integración infinitos.

∫_(-∝)^2▒dx/(4-x)^2

Solución:

∫_(-∝)^2▒dx/(4-x)^2 = lim┬(a→-∝)⁡∫_a^2▒dx/(4-x)^2

= lim┬(a→-∝)⁡〖[1/(4-x)]_a^2 〗

= lim┬(a→-∝)⁡(1/2-1/(4-a))

= 1/2-0

= 1/2

Lección 23: Integrales por sustitución trigonométrica caso II.

∫▒〖√(x^2+5) dx〗

Solución:

Sea x=√5 tanθ, donde 0≤θ 1/2 π si x≥0, y -1/2 π<θ<0 si x<0. Entonces, dx=√5 〖sec〗^2 θ dθ y

√(x^2+5) = √(〖5tan〗^2 θ+5)

= √5 √(〖sec〗^2 θ)

= √5 sec⁡θ

Por lo tanto,

∫▒〖√(x^2+5) dx〗 = ∫▒〖c sec⁡θ (〖√5 sec〗^2 θ dθ ) 〗

= 5∫▒〖〖sec〗^3 θ dθ〗

= 5/2 sec⁡θ tan⁡θ+5/2 ln⁡〖|sec⁡θ+tan⁡θ |+c〗

3(para x≥0 ) y 4(para x<0 ). En ambos casos.

sec⁡θ=√(x^2+5)/√5

En consecuencia,

∫▒〖√(x^2+5) dx〗 = 5/2*√(x^2+5)/√5*x/√5+5/2 ln⁡〖|√(x^2+5)/√5+x/√5|+c〗

= 1/2 x√(x^2+5)+5/2 ln⁡〖|√(x^2+5)+x|-5/2 ln⁡√5+c〗

= 1/2 x√(x^2+5)+5/2 ln⁡〖(√(x^2+5)+x)+c_1 〗

Observe que se sustituyó -5/2 ln⁡√5+c por la constante arbitraria c_1.

También, como √(x^2+5)+x>0, se eliminaron las barras del valor absoluto.

Lección 29: Integración de la función trigonométrica.

Funciones tipo: y=sin^m⁡(x) cos^n⁡(x)

∫▒〖sen^3⁡x cos^4⁡x dx〗 = ∫▒〖sen^3⁡x cos^4⁡x (sen⁡x dx) 〗

= ∫▒〖(1-cos^2⁡x ) cos^4⁡x (sen⁡x dx) 〗

= ∫▒〖cos^4⁡x sen⁡x dx-∫▒〖cos^6⁡x sen⁡x dx〗〗

= -1/5 cos^5⁡x+1/7 cos^7⁡x+c

7. La solución de la siguiente integral, mediante el método de fracciones parciales

∫▒dx/(x^2-4) dx es:

A. ln⁡〖|x+2|+c〗 C. 1/4 ln⁡〖|x-2|-〗 1/4 ln⁡〖|x+2|+c〗 RTA.

B. ln⁡〖|x-2|+c〗 D. ln⁡〖|x-2|-〗 ln⁡〖|x+2|+c〗

En este caso, Dx=x^2-4=(x-2)(x+2). Escribir

1/(x-2)(x+2) =A/(x-2)+B/(x+2)

Se asume que A y B son ciertas constantes, que se deben evaluar ahora. Se eliminan los denominadores multiplicando a ambos lados por (x-2)(x+2):

1=A(x+2)+B(x-2) (1)

Primero se sustituye x por -2 en (1): 1=A(-2+2)+B(-2-2)

1=A(0)+B(-4)=-4B. Entonces, B=-1/4 .

Luego se sustituye x por 2 en (1): 1=A(2+2)+B(2-2)

...