Taller Logica De Matematica

NOTA: LAS RESPUESTAS ESTÁN INDICADAS CON ROJO.

DE SER NECESARIO EL PROCEDIMIENTO, LES PIDO ME LO HAGAN SABER EN EL MENOR TIEMPO POSIBLE.

Para comprender la técnica de simplificación y representación mediante funciones Booleanas, desarrollemos un ejercicio práctico, partamos de una proposición compuesta:

Si Juan mejora su habilidad para razonar, entonces argumenta mejor o lee mejor.

En esta proposición compuesta se identifican las siguientes proposiciones simples:

p = Juan argumenta mejor

q = Juan lee mejor

r= Juan mejora en su habilidad para razonar

Si expresamos la proposición dada en lenguaje natural a su equivalente en lenguaje simbólico obtenemos:

F(p, q, r) = r --> (p v q)

¿En qué casos es verdadera la función lógica propuesta? Desarrollemos la tabla de verdad para ésta función, tal y como lo aprendimos en la primera unidad:

p q r (p v q) Función Lógica

r-->(p v q)

F F F F V

F F V F F

F V F V V

F V V V V

V F F V V

V F V V V

V V F V V

V V V V V

Observemos que la función será verdadera en todos los casos excepto cuando p sea Falso, q sea falso y r sea verdadero.

Es decir que la función lógica se cumplirá en todos los casos menos cuando ocurra ~p y ~q y r=(~p)(~q)(r).

Si aplicamos el teorema de D'Morgan encontramos que la función se cumplirá cuando: ocurra p ó ocurra q ó no ocurra r, veamos:

~((~p)(~q)(r)) = ~(~p) + ~(~q) + ~(r) = p + q + ~r

El método que hemos usado para representar la función lógica se denomina forma normal conjuntiva.

12. La función lógica que corresponde a la siguiente tabla de verdad es:

p q r

Función Lógica

F F F V

F F V F

F V F V

F V V F

V F F V

V F V F

V V F F

V V V V

~q~r + pr + pr

~qr + pqr + pr

~q~r + pq + p~r

X ~q~r + pqr + ~p~r

13. De simplificar la proposición ~((p)+(~q)) se obtiene:

~p~q

p + q

X ~pq

~p + r

14. De simplificar la proposición ~(p+~q) se obtiene:

p+~p

P

X ~pq

~p+q

15. De simplificar la proposición ~(p+~q) se obtiene:

O el enunciado o las opciones son incorrectos.

P

2p

~p

~2p

Ninguna de las anteriores.

Existe otra forma de representar la función lógica, veamos:

p q r Función Lógica

r --->(p v q)

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

Podemos afirmar que la función lógica se dará en los siguientes casos:

(~p)(~q)(~r) + (~p)(q)(~r) + (~p)(q)(r) + (p)(~q)(~r)+ (p)(~q)(r) + (p)(q)(~r) + (p)(q)(r)

Si agrupamos (~p)(~q)(~r) + (~p)(q)(~r) =(~p)(~r)[~q + q] = (~p)(~r)[1] = (~p)(~r)

Si agrupamos (~p)(q)(r) +(p)(q)(r) = (q)(r)[~p + p] = (q)(r)[1] = (q)(r)

Si agrupamos(~p)(~q)(~r)+ (p)(~q)(~r)= (~q)(~r)[~p + p]= (~q)(~r)[1] = (~q)(~r)

Si agrupamos (p)(~q)(r) + (p)(q)(r) = pr

Si agrupamos (p)(q)(~r) + (p)(q)(r) = pq

Se obtiene: ~p~r + qr + ~q~r + pr + pq, la cual es una solución válida, pero deseamos lograr la máxima simplificación.

16. De simplificar la función F= (~pp)(q)(r) + (pqr) se obtiene:

~(pqr)

X Pqr

0 + pr

1 + pq~r

Agrupemos nuevamente:

(~p)(~q)(~r) + (~p)(q)(~r) + (~p)(q)(r) + (p)(~q)(~r)+ (p)(~q)(r) + (p)(q)(~r) + (p)(q)(r)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Si agrupamos (1) y (4): (~p)(~q)(~r) + (p)(~q)(~r) =(~q)(~r)[~p + p] = (~q)(~r)[1] = (~q)(~r)

Si agrupamos(2) y (6): (~p)(q)(~r) +(p)(q)(~r) = (q)(~r)[~p + p] = (q)(~r)[1] = (q)(~r)

Si agrupamos(3) y (7): (~p)(q)(r)+ (p)(q)(r)= (q)(r)[~p + p]= (q)(r)[1] = (q)(r)

...