Tarea Estadística Inferencial

Tercera parte

Regresión lineal simple

Un problema habitual de la estadística inferencial es tratar de determinar la influencia que tiene cierta variable en el comportamiento de otra. Para cumplir con este objetivo, primeramente se busca tener certeza de la asociación y posteriormente se mide el grado de dicha relación. Una alternativa muy socorrida para este fin es el empleo de la metodología de regresión lineal simple, en la cual se ajusta una línea recta a un conjunto de observaciones de dos variables que guardan cierto grado de asociación.

En esta parte de su cuaderno integral de trabajo reforzará su conocimiento de esta técnica a través de la resolución de preguntas teóricas, así como de ejercicios de mecanización y de enfoque práctico.

No está por demás recordarle que cuide cumplir con las recomendaciones para la resolución de este cuaderno de trabajo.

Relación lineal entre dos variables

La relación lineal que guardan dos variables independientes puede identificarse, primeramente, al realizar una inspección visual del comportamiento de las observaciones en un gráfico de dispersión, cuya definición es:

A continuación se muestra un ejemplo de un gráfico de dispersión para un conjunto de observaciones de dos variables.

Ejemplo de un gráfico de dispersión

¿Qué le dice esta gráfica?

La medida que nos indica el grado de asociación lineal entre dos variables es el coeficiente de correlación (r), el cual se calcula conforme a la siguiente fórmula:

Recuerde que:

Describa cómo es una gráfica de dispersión de dos variables que no están correlacionadas.

Regresión lineal simple

Cuando se cuenta con dos variables X e Y con una asociación lineal, es factible aplicar una metodología de regresión lineal simple, en donde a través de la variable independiente X se explique el comportamiento de la variable dependiente Y. ¿Recuerda los supuestos de esta metodología? Escríbalos a continuación.

La estimación de las n observaciones de Y se lleva a cabo a través del ajuste de la recta:

Donde los coeficientes β0 y β1 son estimados por medio del método de mínimos cuadrados, que usted ya ha estudiado, así que descríbalo a continuación:

Revisión del modelo ajustado

Cuando se ajusta un modelo de regresión lineal simple a un conjunto de datos, es necesario realizar algunas pruebas para validar si la recta ajustada es adecuada para explicar el comportamiento de nuestra variable de interés Y.

La primera medida a revisar es el coeficiente de determinación R2. ¿Lo recuerda? Escriba a continuación qué le informa este valor:

El siguiente paso es realizar una serie de contraste de hipótesis. La primera consiste en probar si el modelo lineal es significativo, ¿recuerda cuál es la Ho, la región de rechazo y la distribución utilizada? Anótelo en el espacio.

Otra prueba importante es determinar si los coeficientes del modelo son significativos. ¿Recuerda cuál es la Ho, la región de rechazo y la distribución utilizada? Anótelo en el espacio.

Finalmente se inspeccionan los residuos para comprobar que se cumplen los supuestos del modelo. Anote a continuación al menos dos alternativas para validar el comportamiento de los residuos.

Intervalos y bandas de confianza

Una línea de regresión es un estimador para una variable Y. Al igual que lo acontecido con otros estimadores, es factible realizar estimaciones de intervalo. Puede calcularse un intervalo de confianza, ya sea para la recta ajustada o para algún valor que se quiera pronosticar.

Describa a continuación cómo se obtiene un intervalo para la línea ajustada:

¿Y cómo se obtiene un intervalo para un valor específico?

A continuación afianzará su conocimiento en este tema a través de un conjunto de ejercicios diseñados para este fin. Nuevamente se le recuerda que siga las recomendaciones para resolver este Cuaderno Integral de Trabajo.

Ejercicios

Instrucciones: Resuelva los siguientes ejercicios. Recuerde utilizar la computadora en los casos donde juzgue conveniente hacerlo.

Ejercicio 1

Para un estudio existen las siguientes mediciones de dos variables:

Variable 1

22.5 43.9 34.7 39.9 23.2

49.1 32.2 38.3 46.4 43.9

45.7 29.4 48.4 24.5 43.5

46.0 28.6 31.3 28.9 46.6

36.9 43.7 49.1 24.4 24.4

24.6 31.2 35.4 25.8 46.1

26.5 43.0 33.2 23.3 49.0

31.2 37.6 40.5 49.8 38.0

21.3 27.4 33.5 36.0 20.0

43.2 38.6 30.3 41.4 49.1

Variable 2

12.3 11.1 10.0 8.6 3.1

6.6 10.1 3.4 9.2 14.1

10.1 4.3 6.2 14.1 9.7

8.6 12.5 14.8 12.5 12.8

11.7 5.1 5.4 7.7 8.5

5.3 13.4 2.4 3.8 6.8

9.2 9.3 3.4 12.9 1.6

9.9 0.8 12.6 13.0 11.3

10.7 3.1 12.7 2.1 10.4

5.2 11.1 11.4 3.6 14.6

Se quiere explicar el comportamiento de la variable 1 en función de la variable 2 por medio del ajuste de un modelo de regresión lineal simple.

a) Indique si es posible ajustar un modelo de regresión lineal simple a estos datos.

Mayor de o.o5 no sirve

- Justifique su respuesta.

R2 es muy cercana a 0 y el valor critico de F es mayor a 0.05, lo que nos indica que la ecuacipoin obtenida no nos es útil para pronosticar el valor de “y” dado “x”

I

b) ndique el modelo de regresión que ajusta a estas variables.

Y= 37.321 – 0.149 x

c) De acuerdo con el modelo ajustado interprete el comportamiento de la variable 1 en función de la variable 2.

Por cada incremento de la variable x, disminuye la variable y en 0.149, cuando x es 0, el valor de y es 37.321

Ejercicio 2

Un indicador para medir el nivel de pobreza de la población es el índice de marginación. Esta cifra puede tomar tanto valores positivos como negativos. Si esta medida tuviera un valor negativo, significa que la población vive un nivel de marginación o pobreza menor al promedio nacional; en cambio,

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