Teorema

Considera al primer círculo como un entero, entonces lo podemos representar como 1.

Después consideremos la mitad de este círculo. Lo podemos representar como ½ y si sumamos ½ + ½ =1. Para representar la mitad de esta mitad, podemos representarla como ¼.

Y así consecutivamente. ¿Qué pasa si seguimos subdividiendo estas partes?

¿Podemos representar esta situación a partir de una secuencia formada por los números

1, 1/2,1/4,1/8?

¿Terminaríamos alguna vez de obtener estas subdivisiones? ¿Crees que esta subdivisión es finita o infinita? ¿Además, crees que es cierto que 1=1/2+1/4+1/8+….? ¿Por qué? En esta situación encontramos presente el concepto de sucesión y serie infinita, los cuales están relacionados.

Ahora vamos a definirlas.

Vamos a estudiar dos series que tienen muchas aplicaciones: la geométrica y la aritmética.

Ejemplo 1: determine el enésimo y el séptimo término de la progresión geométrica 1/2+1/4+1/8+…

Solución: aplicamos la definición de serie geométrica y se distingue que el primer término es a = 1/2. Para obtener el valor de r, basta con dividir el 2º término entre el 1°, es decir,

Entonces el enésimo término de la serie está dado por .

Sustituyendo los valores de a y r, se tiene que .

Para responder a la segunda pregunta y obtener el 7º término, basta con sustituir el valor de n= 7.

Entonces .

Observa lo práctico de la fórmula. Puedes obtener el término que quieras sin necesidad de desarrollar la serie por completo hasta este término.

Teorema

Se dice que una serie geométrica es convergente a .

La serie es divergente para .

Ejemplo 3: para la serie determina la suma de la serie.

Solución:

Sustituimos en la fórmula

Si aplicamos el límite cuando

O bien podemos aplicar el teorema ya que .

Por lo tanto la serie es convergente a uno. Es decir, su suma es igual a uno

Ejemplo 4: los padres de un niño de 8 años han acordado depositar $500 en la cuenta de banco de su hijo en su décimo aniversario, y duplicar el tamaño del depósito hasta su cumple años número 21.

¿Cuánto dinero depositarán en su cumpleaños número 21?

¿Cuánto dinero habrán depositado hasta su cumple años número 21?

Solución: lo primero que se debe hacer es escribir los primeros términos de la progresión

500, 1000, 2000…

Observa que la progresión es geométrica ya que se puede obtener el segundo término si multiplicamos el primero por dos, el tercero si multiplicamos el segundo por dos, etc.

O bien podemos dividir

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