Teoremas

Quien es Kurt Friedrich Gödel

Su vida fue, como la de Spinoza o Kant, preferentemente sedentaria. Vinculado en su juventud al Círculo de Viena, emigró, huyendo de los nazis, a los estados Unidos, para establecerse definitivamente en Princeton hasta su muerte. Su obra se reduce a un puñado de artículos de lógica matemática y, excepcionalmente, de física o de filosofía, casi todos ellos muy breves, pero de un increíble nivel de creatividad, concisión y rigor técnico. El teorema de Gödel es una de las más sensacionales conquistas científicas del siglo XX.

En todo sistema axiomático existen proposiciones sobre las cuales no vamos a poder demostrar si son ciertas o falsas. Gödel asimismo afirmaba que si un sistema es consistente, entonces es incompleto, y si el sistema es completo, entonces es inconsistente.

* ¿Qué es un sistema?, ¿qué es una proposición?, ¿qué significa que sea consistente o incompleto?

* En primer lugar, un sistema esun conjunto de axiomas y reglas de inferencia.

* Una proposición es una afirmación que puede ser cierta o falsa. Por ejemplo, en un sistema aritmético, una proposición podría ser "2+2=4". La proposición sería cierta. Otra proposición puede ser "3+1=7" en cuyo caso sería falsa.

* En lo referente a completitud y coherencia, un sistema es completo cuando dentro de el sistema puede determinarse el status de veracidad o falsedad de toda proposición dentro él; es decir, cuando siempre podemos saber si la proposición es cierta o falsa. Los sistemas incompletos tienen proposiciones las cuales no podemos saber si son ciertas o falsas. Asimismo, un sistema es coherente cuando no hay contradicciones de ningún tipo ni tiene ninguna paradoja; y obviamente, es incoherente cuando nos encontramos con contradicciones y paradojas.

Los teoremas de Gödel son dos célebres teoremas de lógica matemática:

• El primer teorema de afirma que, bajo ciertas condiciones, ninguna teoría matemática formal capaz de describir los números naturales y la aritmética con suficiente expresividad, es a la vez consistente y completa. Es decir, si los axiomas de dicha teoría no se contradicen entre sí, entonces existen enunciados que no pueden probarse ni refutarse a partir de ellos. En particular, la conclusión del teorema se aplica siempre que la teoría aritmética en cuestión sea recursiva, esto es, una teoría en la que el proceso de deducción pueda llevarse a cabo mediante un algoritmo.

La prueba del teorema es totalmente explícita y en ella se construye una fórmula, denotada habitualmente G en honor a Gödel, para la que dada una demostración de la misma, puede construirse una refutación, y viceversa. Sin embargo, la interpretación natural de dicha sentencia en términos de números naturales es verdadera.

• El segundo

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