Trabajo Colaborativo 2, Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES

TRABAJO FASE 2

PRESENTADO POR:

FRANCISCO

TUTOR:

JADIER ESTRADA

ECUACIONES DIFERENCIALES

GRUPO 100412_24

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BASICA E INGENIERIA

2014

INTRODUCCION

En este trabajo se revisarán los capítulos ubicados en la unidad 2, que servirá de apoyo para el desarrollo, con el propósito fundamental de que los estudiantes adquieran conocimientos sólidos en las temáticas ya antes mencionadas y sus aplicaciones permitiendo transitar de manera muy dinámica por áreas más avanzadas y demás se busca que el estudiante implemente las nuevas tecnologías como las TIC, herramienta que facilita al profesional nuevas modalidades innovadoras las cuales se hacen necesarias en el campo laboral.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Reconocimiento de la unidad 2 de ecuaciones diferenciales, se pretende el aprendizaje de los temas para emplearlo en desempeño profesional, este curso es muy importante para todo los programas que toca estudiarla para fortalecer a los universitario de la universidad abierta y a distancia UNAD.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Aprender a desarrollar habilidades como el uso de técnicas y procedimientos para la modelación y solución de problemas referentes a las ecuaciones diferenciales.

Comprender el papel que juegan las ecuaciones diferenciales en los fenómenos físicos que se presentan en la naturaleza.

DESARROLLO DEL TRABAJO

Primera actividad:

Desarrolle los siguientes ejercicios:

Indique cuál es de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas y resuélvalas.

y^''-10y^'+25y=0

Ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes

Solución:

La ecuación característica

m^2-10m+25=(m-5)^2=0

(m-5)^2=0→m_1=5 y m_2=5

m_1=m_2

Tiene dos raíces reales m=5 repetidas. Luego la solución general es

y=C_1 e^5x+C_2 xe^5x

y^''-y^'-6y=0

Ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes

Solución:

La ecuación característica

m^2-m-6=(m-3)(m+2)=0

(m-3)(m+2)=0→m_1=-2 y m_2=3

m_1≠m_2

Tiene dos raíces reales distintas. Luego la solución general es

y=C_1 e^(-2x)+C_2 e^3x

y^3-3y^2-3y-y=l^x-x+16

y''-9y=54

Ecuación lineal no homogénea con coeficientes constantes

Solución:

La ecuación característica

m^2-9=0

〖(m-3)〗^2=0→m_1=3 y m_2=-3

m_1≠m_2

Tiene dos raíces reales distintas. Luego la solución general es

y_h=C_1 e^3x+C_2 e^(-3x)

Ahora

y_p=B

〖y'〗_p=0

〖y''〗_p=0

Remplazamos las derivadas en la ecuación inicial

y''-9y=54

0-9B=54

B=54/(-9)=-6

Reemplazamos el valor de B en la ecuación de y_p

y_p=-6

Ahora reemplazamos los valores de y_h y y_p en y

y=y_h+y_p

Por lo tanto la solución es:

y=C_1 e^3x+C_2 e^(-3x)-6

y^''+25y=6 sin⁡x

Ecuación lineal no homogénea con coeficientes constantes

Solución:

La ecuación característica

m^2+25=0

m^2=-25→m=√(-25)

m=∓5i

Tiene raíces complejas. Luego la solución general es

y_h=C_1 e^0x cos⁡5x+C_2 e^0x sin⁡5x

y_h=C_1 cos⁡5x+C_2 sin⁡5x

Ahora

y_p=a sin⁡x

〖y'〗_p=a cos⁡x

〖y''〗_p=-a sin⁡x

Remplazamos las derivadas en la ecuación inicial

y^''+25y=6 sin⁡x

-a sin⁡x+25(a sin⁡x )=6 sin⁡x

sin⁡x (-a+25a)=6 sin⁡x

-a+25a=(6 sin⁡x)/sin⁡x

24a=6

a=6/24=1/4

Reemplazamos el valor de B en la ecuación de y_p

y_p=1/4 sin⁡x

Ahora reemplazamos los valores de y_h y y_p en y

y=y_h+y_p

Por lo tanto la solución es:

y=C_1 cos⁡5x+C_2 sin⁡5x+1/4 sin⁡x

y=C_1 cos⁡5x+C_2 sin⁡5x+sin⁡x/4

Demostrar que X3 y |x|3; son soluciones linealmente independientes de la siguiente ecuación diferencial:

x^2 y´´-4xy´+6y=0 en el intervalo -∞<x<∞

y=x^3

y´=3x^2

y´´=6x

x^2 (6x)-4x(3x^2)+6x^3=0

〖6x〗^3-12x^3+6x^3=0

〖12x〗^3-12x^3=0

0=0

y={■((-1) x^3 para todo x<0@x^3 para todo x≥0)}

y´={■((-3) x^2 para todo x<0@〖3x〗^2 para todo x≥0)}

y´´={■((-6)x para todo x<0@6x para todo x≥0)}

Para todo x<0

x^2 (-6x)-4x(-3x^2 )-6x^3=0

〖-6x〗^3+12x^3-6x^3=0

-〖12x〗^3+12x^3=0

0=0

Para todo x≥0

x^2 (6x)-4x(3x^2)+6x^3=0

〖6x〗^3-12x^3+6x^3=0

〖12x〗^3-12x^3=0

0=0

Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de variación de parámetros:

yy secx

La haré por el método de variación de parámetros:

y''+y = sec(x)

Resolvamos la ecuación homogénea: y'' + y = 0:

r^2+1=0

r=i

r= -i

--> yh= c1*sen(x) + c2*cos(x), c1 y c2 constantes.

Supongamos que yp= u1(x)*senx+ u2(x)*cosx:

Resolvamos el siguiente sistema:

u1'(x)*senx+u2'(x)*cosx=0

u1'(x)*cosx-u2'(x)*senx=sec(x)

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