Trabajo De Matematica

INTRODUCCIÓN

El objetivo de este trabajo es conseguir que los participantes dominen el cálculo integral, herramienta básica en todas las ramas de la ciencia y la tecnología.

El concepto de derivada es un concepto fundamental para el estudio del cálculo, sin embargo el tratamiento que se le da a este concepto en la escuela generalmente se enfoca principalmente en el manejo y la aplicación de fórmulas y recursos algebraicos,

Sin abandonar el rigor formal en la exposición, hemos procurado hacer asequible cada cuestión mediante ejemplos y ejercicios. Desde luego, no hacemos ninguna aportación nueva, a no ser un pretendido cuidado en el aspecto didáctico.

El cálculo integral surgió de la necesidad de resolver el problema de la obtención de áreas de figuras planas. Para ello se aproximaba exhaustivamente la figura cuya área se deseaba calcular mediante polígonos de áreas conocidas y apareció el concepto de integral. Con esta idea apareció el concepto de Integral Definida. Se llama integral definida de la función f(x) 0 entre a y b (a estos dos valores se les denomina límites de integración), al área de la porción de plano limitada por la gráfica de la función, el eje X y las rectas paralelas x = a y x = b

Otra aplicación fue predecir la posición futura de un objeto en movimiento a partir de una ubicación conocida y la fórmula de su función velocidad. Este es un ejemplo claro en el cual se debe determinar una función a partir de una fórmula de su razón de cambio (velocidad) y de uno de sus valores (posición inicial). De aquí surgió el concepto de Integral Indefinida y primitiva de una función.

Para el estudio de este, no se presupone ningún conocimiento previo de cálculo integral, Es decir, un estudiante con interés puede seguir las explicaciones con facilidad. Se han incluido las demostraciones de aquellos resultados que consideramos formativos y que desarrollan la capacidad de razonamiento lógico y de análisis crítico.

Derivadas

La derivada de una función en pocas palabras, diríamos que representa su tasa de crecimiento. Es decir, la derivada de una función nos dice, de alguna manera, cuanto cambia la función (variable dependiente) a medida que cambia la variable independiente. La derivada de una función nos dirá si una función crece o decrece rápidamente o lentamente. Para introducir el concepto de derivada de una función, mejor comenzaremos describiendo el significado geométrico que tiene, para luego definirla más correctamente.

La ciencia, la técnica, las propias matemáticas e incluso, la vida cotidiana están plagadas de problemas de optimización. Muchas cuestiones importantes se plantean de este modo: "qué es lo óptimo en estas circunstancias". Muchos de los problemas de máximos y mínimos ya fueron abordados por los griegos, como, por ejemplo, el camino que recorre la luz para llegar de un punto a otro mediante reflexión (Herón, siglo I a. C.) Antes de la invención del cálculo diferencial, cada uno de estos problemas se abordaba mediante un procedimiento específico, no generalizable a los demás. Actualmente, muchos de estos problemas son simples aplicaciones de las derivadas.

Aplicaciones de la integral

La integral definida es una herramienta útil en las ciencias físicas y sociales, ya que muchas cantidades de interés en dichas ciencias pueden definirse mediante el tipo de suma que se presenta en la integral definida.

Previo a la presentación de un problema cotidiano que implique una solución a partir de las integrales, es imprescindible presentar el concepto de “integral definida “

Partición de un intervalo cerrado:

Suma de Riemann

La integral definida

En términos prácticos y operativos la integral definida se puede evaluar según el segundo teorema fundamental del cálculo de la siguiente manera:

Dada una función f continua en el intervalo [a,b] y sea g cualquier función primitiva de f, es decir g'(x)=f(x) para todo , entonces:

Aplicaciones

Dentro de las múltiples aplicaciones de la integral definida figuran el cálculo de área, volumen sólido en revolución, longitud de arco, trabajo, solución de ecuaciones diferenciales, entre otras, de las cuales para efecto de este informe nos focalizaremos a la utilización de la integral para el cálculo de trabajo ( en términos de la física) .

Si una fuerza constante F actúa sobre un objeto desplazándolo una distancia x, a lo largo de una línea recta, y la dirección de la fuerza coincide con la del movimiento, entonces el trabajo realizado W se expresa como el producto de la fuerza F por el camino recorrido.

Es decir: W = F x.

Cuando la fuerza no es constante, por ejemplo, cuando se contrae o estira un resorte, el trabajo no se puede expresar en forma tan simple.

Consideremos una partícula P que se desplaza sobre el eje x, desde el punto (a; 0) al punto (b; 0) por medio de una fuerza f = F(x); x en [a; b].Dividamos el segmento [a; b] en n partes arbitrarias de longitudes Δx1; Δx2; : : : ; Δxi; : : : ; Δxn, y tomemos en cada sub intervalo [xi-1; xi] un punto arbitrario ti entonces el cálculo de trabajo se puede simplificar según la siguiente formula:

Siendo F(x) la fuerza aplicada a la partícula cuando esta se encuentra en el punto cuya coordenada es x.

Si la unidad de fuerza es el kilogramo, y si la unidad de distancia es el metro, entonces la unidad de trabajo es el kilográmetro. También pueden utilizarse como unidades de trabajo la libra-pie y el gramo-centímetro.

El alargamiento o la compresión de un resorte helicoidal, nos proporciona un ejemplo del trabajo realizado por una fuerza variable. La ley de Hooke afirma que la fuerza necesaria para estirar un resorte helicoidal, es proporcional a la elongación del resorte. As, la fuerza necesaria para producir una elongación de x unidades, está dada por la expresión F = kx, donde k es la constante de proporcionalidad, que depende del material, del grosor del alambre, de la temperatura, etc.

Ejercicios Propuestos:

Un resorte tiene una longitud natural de 8 pulgadas. Si una fuerza de 20 libras estira el resorte 1/2 pulgada, determinar el trabajo realizado al estirar el resorte de 8 pulgadas a 11 pulgadas.

Consideremos el resorte ubicado a lo largo del eje x, con su extremo fijo en el origen:

Por la ley de Hooke se sabe que F = kx.

Como x= 0,5 pulgadas cuando F = 20 libras, entonces 20 = k (0; 5) de donde k = 40.

Luego, F = 40x. Se desea calcular el trabajo realizado por esta fuerza si aumenta la extensión de 8 a 11 pulgadas.

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