Trabajo de probabilidad

Demostrar que para cualquier conjunto de eventos Ai(i ϵ I) donde I es un conjunto de índices

1. (∪Ai)c i∈I = ∩Aic i∈I

Demostración:

Sea     x ϵ (∪Ai)c i∈I      entonces      x ∉  (∪Ai)i∈I

Luego  x ∉ A1 & x ∉ A2&…& x ∉ An

Así       x ϵ A1c & x ϵ A2c &…& x ϵ Anc

Es decir x  ϵ ∩Aic i∈I

De esta manera    (∪Ai)c i∈I  ⊆  ∩Aic i∈I

Ahora

Sea     x ϵ ∩Aic i∈I    entonces      x ϵ A1c & x ϵ A2c &…& x ϵ Anc

Luego  x ∉ A1 & x ∉ A2&…& x ∉ An

Así       x ∉  (∪Ai)i∈I

Es decir   x ϵ (∪Ai)c i∈I      

De esta manera    ∩Aic i∈I ⊆ (∪Ai)c i∈I 

Por lo tanto            (∪Ai)c i∈I = ∩Aic i∈I

1. (∩Ai)c i∈I=  ∪Aic i∈I

Demostración:

Sea     x ϵ (∩Ai)c i∈I      entonces      x ∉  (∩Ai)i∈I

Luego  x ∉ A1 ó x ∉ A2 ó … ó x ∉ An

Así       x ϵ A1c ó x ϵ A2c ó … ó x ϵ Anc

Es decir x  ϵ ∪Aic i∈I

De esta manera    (∩Ai)c i∈I  ⊆  ∪Aic i∈I

Ahora

Sea     x ϵ ∪Aic i∈I    entonces      x ϵ A1c ó x ϵ A2c ó … ó x ϵ Anc

Luego  x ∉ A1 ó x ∉ A2 ó … ó x ∉ An

Así       x ∉  (∩Ai)i∈I

Es decir   x ϵ (∩Ai)c i∈I    

De esta manera    ∪Aic i∈I ⊆ (∩Ai)c i∈I

Por lo tanto            (∩Ai)c i∈I = ∪Aic i∈I

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