Trabajo De Probabilidad

Taller 4

¿Cuántas palabras diferentes de tres letras pueden formarse con las letras de la palabra CIMA, sin que se repita ninguna letra? Una vez calculado el número, escríbelas todas ordenadamente.

Hay 4 letras disponibles y se pueden formar palabras usando tres de ellas sin repetir, de manera que el total de palabras sería:

Total palabras=4*3*2=24

R/ Se pueden formar 24 palabras que serían:

CIM

CIA

CAI

CAM

CMA

CMI

ICM

ICA

IMC

IMA

IAC

IAM

MCI

MCA

MIA

MIC

MAC

MAI

ACI

ACM

AIC

AIM

AMC

AMI

Calcula cuántas palabras diferentes de cuatro letras distintas pueden formarse con las letras de la palabra MUSA. Después escríbelas ordenadamente.

Tenemos una situación similar al ejercicio anterior, pero en este caso tenemos 4 letras disponibles y debemos formar palabras de 4 letras sin repetir letras:

Total plabaras=4*3*2*1=24

R/ Se pueden formar 24 palabras diferentes, que serían:

MUSA

MUAS

MSUA

MSAU

MAU

MAS

UMSA

UMAS

USMA

USAM

UAMS

UASM

SMUA

SMAU

SUMA

SUAM

SAMU

SAUM

AMUS

AMSU

AUMS

AUSM

ASMU

ASUM

¿Cuántos subconjuntos distintos de tres elementos pueden formarse con un conjunto de 8 elementos?

Para un conjunto de tres elementos, con 8 elementos disponibles, sin repetir, se pueden formar:

Total conjuntos=8*7*6=336

R/ Se pueden formar 336 subconjuntos diferentes.

Calcular el valor de m para que V_(m,3)=2V_(m,2)

V_(m,3)=2V_(m,2)

m!/(m-3)!=2m!/(m-2)!

(m-2)!=2(m-3)!

(m-3)!(m-2)=2(m-3)!

m-2=2

m=4

R/ El valor de m que satisface la igualdad es 4

Hallar el valor de m para que se verifique V_(m,2)+V_(m-1,2)+V_(m-2,2)=62

V_(m,2)+V_(m-1,2)+V_(m-2,2)=62

m!/(m-2)!+(m-1)!/(m-1-2)!+(m-2)!/(m-2-2)!=62

m!/(m-2)!+(m-1)!/(m-3)!+(m-2)!/(m-4)!=62

m(m-1)(m-2)!/(m-2)!+(m-1)(m-2)(m-3)!/(m-3)!+(m-2)(m-3)(m-4)!/(m-4)!=62

m(m-1)+(m-1)(m-2)+(m-2)(m-3)=62

m^2-m+m^2-3m+2+m^2-5m+6=62

3m^2-9m+8=62

3m^2-9m-54=0

m^2-3m-18=0

(m-6)(m+3)=0

m=6 m=-3

La solución es la respuesta positiva:

R/ El valor de m que satisface la igualdad es 6.

Escribir como cociente de números factoriales las siguientes expresiones:

a) 11*10*9

11*10*9= 11!/8!

b) (x+1)x(x-1)

(x+1)x(x-1)=(x+1)!/(x-2)!

c) (p-2)(p-3)(p-4)

(p-2)(p-3)(p-4)=(p-2)!/(p-5)!

Resolver la ecuación P_(x-1) = 56 P_(x-3)

P_(x-1)=56P_(x-3)

(x-1)!=56(x-3)!

(x-1)(x-2)(x-3)!=56(x-3)!

x^2-3x+2=56

x^2-3x-54=0

(x+9)(x-6)=0

x=-9 x=6

La solución es la respuesta positiva, así:

R/ El valor de x que resuelve la ecuación es x=6

Resolver la ecuación V_(x,2)+5P_3=9x+6

x!/(x-2)!+5*3!=9x+6

x(x-1)(x-2)!/(x-2)!+5*6=9x+6

x(x-1)+30=9x+6

x^2-x+30-9x-6=0

x^2-10x+24=0

(x-6)(x-4)=0

x=6 x=4

Como las dos respuestas dieron positivas, cualquiera de las dos es solución de la ecuación:

R/ El valor de x que satisface la ecuación es x=4 o x=6

¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con cinco banderas distintas agrupándolas de tres en tres y sin que se repita ninguna? ¿Y agrupándolas de todas las formas posibles (es decir, de una en una, de dos en dos, etc)?

Agrupadas en tres, sin repetir, pueden hacerse:

Número total de señales=5*4*3=60

Agrupadas en diferentes números, podría ser desde 1 bandera hasta cinco:

Total=5+5*4+5*4*3+5*4*3*2+5*4*3*2*1

=P_5,1+P_5,2+P_5,3+P_5,4+P_5,5=325

R/ Se pueden formar 325 señales distintas

Halla la suma de todos los números de cinco cifras diferentes que pueden formase con las cifras 0, 1, 2, 3, 4.

Primero hallemos la cantidad de números que se pueden formar:

Posibilidades=5*4*3*2*1=120

Si fijamos uno de los números habrá 4!=24 posibilidades, de manera que el total quedará:

24*(00000+11111+22222+33333+44444)=2666640

R/ La suma de todos estos números es 2666640

¿Cuántas palabras (con sentido o no) pueden formarse que tengan exactamente las mismas letras de la palabra CASTO y que empiecen y terminen por vocal?

Hay dos posibilidades, que empiece con A y termine en O, o que empiece en O y termine en A, en ambos casos basta con combinar las letras de la mitad, por lo que el número total de posibilidades quedaría:

Posibilidades=2*(3*2*1)=12

R/ Hay 12 posibles palabras diferentes.

En un club de fútbol hay 23 jugadores, de los que 3 son porteros. ¿Cuántas alineaciones diferentes pueden hacer el entrenador si cualquiera de los jugadores de campo puede jugar como defensa, medio o delantero?

Son 10 jugadores y un portero, de modo que las combinaciones posibles serían

C(20,10)*C(3,1)=184756*3=554268

R/ Se pueden ubicar de 554268 maneras diferentes

¿Cuántos equipos de baloncesto de 5 jugadores cada uno pueden hacerse en un club de 11 jugadores, con la condición de que los jugadores A, B y C no pueden estar simultáneamente en el mismo equipo?

Si de los 11 jugadores, esos 3 no pueden jugar juntos, me quedan 8 jugadores para 4 puestos:

C(8,4)=70

pero el 5º puesto puede ser el jugador A, el B ó el C, con lo cual puede hacerse 70•3 = 210 equipos distintos.

A estos hay que añadir los equipos que se pueden hacer sin

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