Trigonometria

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Archivo:Triangulo1.png Si miramos el triángulo de la izquierda podemos describir tres razones que son intrínsecas de los ángulos agudos, ya que las razones sólamente dependen del ángulo \alpha debido al teorema de Thales.

\sin \alpha = \frac { \mbox{longitud del cateto opuesto a } \alpha}{\mbox{longitud de la hipotenusa}} \rightarrow \sin \alpha =\frac{a}{c}

\cos \alpha = \frac { \mbox{longitud del cateto contiguo a } \alpha}{\mbox{longitud de la hipotenusa}} \rightarrow \cos \alpha =\frac{b}{c}

\tan \alpha = \frac { \mbox{longitud del cateto opuesto a } \alpha}{ \mbox{longitud del cateto contiguo a } \alpha} \rightarrow \tan \alpha =\frac{a}{b}

Gracias a estas definiciones podemos calcular razones trigonométricas aproximadamente dibujando y midiendo simplemente.

Estas razones trigonométricas evidentemente no dependen del triángulo que tracemos sólo dependen del ángulo.

Ejemplo

Archivo:Triangulo2.png Tenemos un triángulo como el de la figura y queremos saber sus razones trigonométricas así que medimos sus tres lados a= 60mm b= 80mm c= 100mm

\sin \alpha = \frac {a}{c}=\frac{60}{100}=0,6

\cos \alpha = \frac{b}{c}=\frac{80}{100}=0,8

\tan \alpha=\frac{a}{b}=\frac{60}{80}=0,75

Relaciones entre las razones trigonométricas del mismo ángulo

Las razones trigonometricas, es decir el sin, cos, tan son dependientes, esto quiere decir que si sabemos una, sabemos las tres. Estas relaciones son las siguientes:

Relaciones trigonométricas fundamentales

(\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = 1\,\!

\frac{ \sin \alpha}{ \cos \alpha}=\tan \alpha

Nota importante: El cuadrado de estas razones no se expresa (\sin \alpha)^2\ (\cos \alpha)^2\ (\tan \alpha)^2\,\! sino así \sin^2 \alpha \ \cos^2 \alpha \ \tan^2 \alpha \,\! Es conveniente que se aprendan, hay que tener en cuenta que la mayor parte (seguramente toda) de la literatura matemática usa esa notación.

Demostración

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \left ( \frac{a}{c} \right ) ^2 + \left ( \frac{b}{c} \right ) ^2 = \frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}=

Aplicamos Pitagoras: a^2+b^2=c^2\,\!

=\frac{c^2}{c^2}=1

\frac{ \sin \alpha}{ \cos \alpha}=\frac{a}{c}:\frac{b}{c}=\frac{a}{b}=\tan \alpha

Ejemplos

Se conoce el cos 53=0,6 y se quiere calcular cuánto valen s =sin \alpha\ \mbox{ y }\ t=tan \alpha\,\!

s^2 + (0,6)^2=1 \rightarrow s^2=1-(0,6)^2 \rightarrow s= \sqrt {0,64}=0,8

t=\frac{0,8}{0,6}=1,333

Se conoce la tangente de un ángulo \tan \alpha = \frac{1}{3} y se quiere calcular cuánto valen \sin \alpha=s \ \mbox{ y } \cos \alpha =c \,\!

\left . \begin{matrix} \frac {s}{c}=\frac{1}{3} \\ s^2+c^2=1 \end{matrix} \right \} \rightarrow \left . \begin{matrix} c=3s \\ s^2+(3s)^2=1 \rightarrow 10s^2=1 \rightarrow s=\frac{1}{\sqrt{10}}= \frac{\sqrt{10}}{10} \end{matrix} \right \} \rightarrow c=\frac{3 \sqrt{10}}{10}

Utilización de la calculadora en trigonometría

Todas las calculadoras científicas del mercado disponen de teclas para las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Sin embargo, es importante tener en cuenta dos factores de interés:

En algunos modelos se introduce el valor del ángulo y luego se pulsa la tecla de la razón trigonométrica para obtener su valor, mientras que en otros se hace justamente al revés, primero se pulsa la tecla de la razón deseada, luego se introduce el valor del ángulo y por último la tecla de resultado (generalmente =) nos muestra el resultado en la pantalla.

Las calculadoras científicas utilizan tres sistemas de medida angular, los radianes (RAD), los grados sexagesimales (DEG) y los gradianes (GRAD). Es muy importante tener en cuenta este factor, ya que no es lo mismo sin(100^o) = 0,984807753 que sin(100 rad) = -0,506365641 o sin(100 gra) = 1 . La conversión entre los sistemas es la siguiente: 180^o = \pi rad = 200 gra

Resolución de triangulos rectángulos

Cuando decimos resolver un triángulo nos referimos a que encontramos todas sus magnitudes desconocidas, es decir la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos, a partir de las conocidas.

Triángulos rectángulos

Si un triángulo es rectángulo en realidad ya sabemos una cosa, que tiene un ángulo de 90º, así que nos hará falta menos información para resolverlo. Podemos resolver un tirángulo rectángulo si conocemos:

Dos lados

Podemos calcular el tercer lado con el Teorema de Pitágoras a^2+b^2=c^2\,\!

Cuando sabemos lo que miden los tres lados es fácil encontrar los ángulos a partir de las razones trigonométricas y de la relación entre los ángulos de un triángulo.

Ejemplo Archivo:Triangulo3.png Tenemos este triángulo y sabemos que a= 14 \ \mbox{ y } \ c = 23\,\!

b=\sqrt{23^2-14^2}=18,25

\sin \hat A = \frac{14}{23}=0,6087 \rightarrow \hat A=37,5^\circ

\hat B = 180 - 90 - \hat A=180-90-37,5 = 52,5^\circ\,\!

Un ángulo y un lado

Los lados se calculan mediante la razón trigonométrica del ángulo que tenemos y con la longitud del lado que tenemos

El ángulo que nos falta se calcula recordando que los ángulos de un triángulo suman entre los tres 180º siempre.

Ejemplo imagen por hacer Tenemos este triángulo y conocemos a=29 \ \mbox{ y } \ \hat B=63^o\,\!

\tan \hat B = \frac{a}{b} \rightarrow b=a \tan \hat B=29 \tan 63=56,92\,\!

c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{29^2+56,92^2}=63,88

Resolución de triángulos no rectángulos. Estrategia de la altura

x

Queremos resolver un triángulo como el de la figura. Sabemos que miden dos de sus lados a=273, b=326\,\! y el ángulo \hat C = 38^\circ\,\!

Para resolverlo lo que hacemos es trazar la siguiente altura x, obtenemos así dos triángulos rectángulos:

Del primer triángulo (el 1) conocemos a=273 \ \mbox{ y } \ \hat C = 38^\circ\,\! obtendremos x e y.

\sin \hat C = \frac {x}{a} \rightarrow x=a \sin \hat C= 273 \sin 38^\circ=168,08

\cos \hat C = \frac {y}{a} \rightarrow y=a \cos \hat C= 273 \cos 38^\circ=215,13

Del segundo triángulo:

z=b-y=326-215,13=110,87\,\!

Finalmente para encontrar c aplicamos

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