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Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas


Enviado por   •  5 de Noviembre de 2015  •  Resumen  •  2.116 Palabras (9 Páginas)  •  2.472 Visitas

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Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €.¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan una venta máxima?

 1  Elección de las incógnitas.

x = número de pantalones

y = número de chaquetas

 2  Función objetivo

f(x,y)= 50x + 40y

 3  Restricciones

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

 

pantalones

chaquetas

disponible

algodón

1

1,5

750

poliéster

2

1

1000

x + 1.5y ≤ 750 [pic 1] 2x+3y≤1500

2x + y ≤ 1000

Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más:

x ≥ 0

y ≥ 0

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

[pic 2]

Resolvemos gráficamente la inecuación: 2x + 3y ≤ 1500, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).

2·0 + 3·0 ≤ 1 500

Como 0 ≤ 1 500 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad.

De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000.

2·0 + 0 ≤ 1 00

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

[pic 3]

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas:

2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500)

2x + y = 1000; y = 0 (500, 0)

2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)

[pic 4]

 6  Calcular el valor de la función objetivo

En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.

f(x, y) = 50x + 40y

f(0, 500) = 50 · 0 + 40 · 500 = 20000 €

f(500, 0) = 50 · 500 + 40 · 0 = 25000 €

f(375, 250) = 50 · 375 + 40 · 250 = 28750 €    Máximo

La solución óptima es fabricar 375 pantalones 250 chaquetas para obtener un beneficio de 28750 €.

Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

 1  Elección de las incógnitas.

x = nº de lámparas L1

y = nº de lámparas L2

 2  Función objetivo

f(x, y) = 15x + 10y

 3  Restricciones

Pasamos los tiempos a horas

20 min = 1/3 h

30 min = 1/2 h

10 min = 1/6 h

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

L1

L2

Tiempo

Manual

1/3

1/2

100

Máquina

1/3

1/6

80

1/3x + 1/2y ≤ 100

1/3x + 1/6y ≤ 80

Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más:

x ≥ 0

y ≥ 0

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Resolvemos gráficamente la inecuación: 1/3 x + 1/2 y ≤ 100; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).

1/3·0 + 1/2·0 ≤ 100

1/3·0 + 1/6·0 ≤ 80

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

[pic 5]

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas:

1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200)

1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0) 

1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60) 

[pic 6]

 6  Calcular el valor de la función objetivo

En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.

f(x, y) = 15x + 10y

f(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000 €

f(240, 0 ) = 15·240 + 10·0 = 3 600 €

f(210, 60) = 15·210 + 10·60 = 3 750 €    Máximo

La solución óptima es fabricar 210 del modelo L1 y 60 del modelo L1 para obtener un beneficio de3 750 € .

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