VARIABLE ALEATORIA

Variable aleatoria

En gran número de experimentos aleatorios es necesario, para su tratamiento matemático, cuantificar los resultados de modo que se asigne un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento. De este modo se establece una relación funcional entre elementos del espacio muestral asociado al experimento y números reales.

Una variable aleatoria (v.a.) X es una función real definida en el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, Ω.[1] [2]

Se llama rango de una v.a. X y lo denotaremos RX, al conjunto de los valores reales que ésta puede tomar, según la aplicación X. Dicho de otro modo, el rango de una v.a. es el recorrido de la función por la que ésta queda definida:

Contenido

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• 1 Definicion formal de variable aleatoria

• 2 Ejemplo

• 3 Tipos de variables aleatorias

• 4 Distribución de probabilidad de una v.a.

• 5 Función de densidad de una v.a. continua

• 6 Parámetros de una v.a.

o 6.1 Esperanza

o 6.2 Varianza

• 7 Véase también

• 8 Referencias

• 9 Bibliografía

• 10 Enlaces externos

Definicion formal de variable aleatoria [editar]

La definición formal de variable aleatoria requiere ciertos conocimientos profundos de matemática (en concreto de teoría de la medida). Es la siguiente:[3] [4]

Dado un espacio de probabilidad y un espacio medible (también denominado a veces espacio de Borel) (S,Σ), una aplicación es una variable aleatoria si es una aplicación -medible.

En la mayoría de los casos se toma como espacio medible de llegada el formado por los números reales junto con la σ-álgebra de Borel (el generado por la topología usual de ), quedando pues la definición de esta manera:

Dado un espacio de probabilidad una variable aleatoria real es cualquier función -medible donde es la σ-algebra boreliana.

Ejemplo [editar]

Supongamos que se lanzan dos monedas al aire. El espacio muestral, esto es, el conjunto de resultados elementales posibles asociado al experimento, es

Ω = {cc, cx, xc, xx},

donde (c representa "sale cara" y x, "sale cruz").

Podemos asignar entonces a cada suceso elemental del experimento el número de caras obtenidas. De este modo se definiría la variable aleatoria X como la función

dada por

El recorrido o rango de esta función, RX, es el conjunto

RX = {0, 1, 2}

Tipos de variables aleatorias [editar]

Para comprender de una manera mas amplia y rigurosa los tipos de variables, es necesario conocer la definición de conjunto discreto. Un conjunto es discreto si está formado por un número finito de elementos, o si sus elementos se pueden enumerar en secuencia de modo que haya un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y así sucesivamente.[5]

• Variable aleatoria discreta: una v.a. es discreta si su recorrido es un conjunto discreto. La variable del ejemplo anterior es discreta. Sus probabilidades se recogen en la función de cuantía (véanse las distribuciones de variable discreta).

• Variable aleatoria continua: una v.a. es continua si su recorrido no es un conjunto numerable. Intuitivamente esto significa que el conjunto de posibles valores de la variable abarca todo un intervalo de números reales. Por ejemplo, la variable que asigna la estatura a una persona extraída de una determinada población es una variable continua ya que, teóricamente, todo valor entre, pongamos por caso, 0 y 2,50 m, es posible.[6] (véanse las distribuciones de variable continua)

• Variable aleatoria independiente: Supongamos que "X" y "Y" son variables aleatorias discretas. Si los eventos X = x / Y = y son variables aleatorias independientes. En tal caso: P(X = x, Y = y) = P( X = x) P ( Y = y). De manera equivalente: f(x,y) = f1(x)f2(y). :Inversamente, si para todo "x" e "y" la funcion de probabilidad conjunta f(x,y) puede expresarse sólo como el producto de una función de "x" sola y como una función dc y solo (las cuales son entonces funciones de probabilidad marginal de "X" e "Y" ), "X" e "Y" son independientes. Sin embargo, si f(x,y),no puede exprarsarse de tal manera, entonces "X" e "Y" son independientes.

Si "X" e "Y" son variables aleatorias continuas, decimos que son variables aleatorias independientes si los eventos "X" es menor o igual que "x", e "Y" es menor o igual que "y" y son eventos independientes para todo "x" e "y" .

De manera equivalente: F(x,y) = F1(x)F2(y), donde F1(X) y F2(y) son las funciones de distribución (marginal) de "X" e "Y" respectivamente. Inversamente, "X" e "Y" son variables aleatorias independientes si para todo "x" e "y", su función de distribución conjunta F(x,y) puede

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