Estadistica

Tipificación de una normal.

Tipificar una distribución normal consiste en realizar un cambio de origen y escala en la distribución original para obtener una nueva distribución que será N(0,1).

Consideremos una variable aleatoria entonces la variable aleatoria sigue una distribución N(0,1) .

El hecho de poder tipificar las distribuciones normales nos permite calcular la probabilidad en cualquier distribución normal conociendo los valores que toma la N(0,1)

USO DE TABLA:

Para poder utilizar la tabla de la distribución normal tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1).

Ejemplo

La media y los que de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

1. Entre 60 kg y 65 kg.

2.Más de 90 kg.

Menos de 64 kg.

4. 64 kg.

5. 64 kg o menos.

Aproximación de la distribución normal a la binomial

La distribución normal se puede utilizar como una aproximación de distribuciones discretas, en particular cuando el tamaño de la muestra "n" tiende a infinito, p y q cercanos a 0.5 se puede aproximar a la distribución binomial, con resultados altamente satisfactorios.

Sea X una variable aleatoria con distribución binomial, si n es grande, 0 < p < 1, la distribución binomial se puede aproximar a la distribución normal con media µ= np y varianza σ²= npq

.

La distribución normal tiene como fdp,

Por lo tanto la distribución aproximada estará dada por:

lo que nos permite el cálculo de la siguiente probabilidad:

El teorema de Moivre (1.756) permite realizar esta aproximación considerando p=q=1/2 que las variables aleatorias sigan una distribución binomial con: . Este teorema fue generalizado posteriormente por Laplace en 1.810 para distribuciones no simétricas p≠q .

Vimos que la variable aleatoria binomial era el número de éxitos que tienen lugar cuando se realizan n repeticiones independientes de un experimento o prueba de Bernoulli. La variable aleatoria x puede escribirse como la suma de n variables aleatorias de Bernoulli:

Si x es una variable aleatoria binomial, B(n,p) con:

media

desviación típica

entonces, cuando n → ∞ la variable aleatoria:

es decir: x→N(np,npq)

En la práctica, decir que n

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