La resolución de sistemas de ecuaciones lineales (SEL)

UNIVERSIDAD TECNICA DE MANABI

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y ECONOMICAS

PROYECTO DE INVESTIGACION

TEMA: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

PROFESOR: ING. OCTAVIO ZORRILLA

INTEGRANTES:

GUERRERO PONCE GISSELA

ZAMORA VERA  JOSMARA

LOZANO  ALCIVAR ROSA

RIVAS MEJÍA  RONNY

MENDENDES PICO LISBERTH

PERIODO: MAYO-SEPTIEMBRE 2015

INTRODUCCIÓN

Muchos problemas técnicos y científicos requieren la resolución de sistemas de ecuaciones lineales (SEL). Se trata pues, de un tema fundamental para todas las disciplinas que utilizan las matemáticas de una manera u otra. En muchos problemas existe dependencia entre las diferentes magnitudes o variables que intervienen y a menudo se plantea en forma de ecuación lineal. Dentro del proceso de resolución de problemas con SEL, se pueden definir seis etapas:

1. Leer el problema.

2. Definir las incógnitas principales de forma precisa.

3. Traducción matemática del problema hasta plantear un SEL.

 4. Resolución del SEL.

5. Interpretación de las soluciones.

 6. Contrastar la adecuación de las soluciones obtenidas.

El "fracaso" en la resolución de un SEL puede ser debido a la presencia de dificultades en una o varias de las etapas anteriores. Por ello, es fundamental realizar, previamente, un buen análisis del SEL así como seguir con rigurosidad el método utilizado para su resolución. De estudios anteriores ya son conocidos los sistemas de ecuaciones lineales y no nos son extraños algunos términos relacionados con su resolución (como los conocidos métodos de sustitución, igualación y reducción). No obstante tampoco nos son desconocidas las dificultades del análisis y el cálculo en la resolución de los sistemas de más de tres ecuaciones con tres incógnitas.

MARCO TEORICO

Los Sistemas de Ecuaciones Lineales.

Sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss (o eliminación gaussiana). Para que de esta manera, promueva una mejor comprensión y entendimiento de los conceptos matemáticos implícitos al resolver un SEL

Definición de sistemas de ecuaciones lineales y solución.

Aquella donde las cantidades desconocidas no tienen potencias mayores que La primera y no hay productos de dos o más cantidades desconocidas y estas

Ecuaciones tienen la forma:

                                                          ax + by + cz = d

Donde a, b, c, d son números conocidos y x, y, z las cantidades desconocidas. Actualmente a este tipo de ecuación se le denomina ecuación lineal. La “definición” de Euler permanece hasta nuestros días vigente, con pequeños cambios como llamar variable o incógnita a la cantidad desconocida y coeficientes a los números conocidos, además de extenderlos a elementos de cualquier campo (Johnson, 1969). [pic 1]

La expresión algebraica general de una ecuación lineal en n variables     es de la forma:[pic 2]

 Se denomina conjunto solución de una ecuación lineal a la colección de todos los valores de las variables que satisfagan a la ecuación y lo representamos por

[pic 3]

 Si multiplicamos un escalar 𝜆 ≠ 0 a la ecuación obtenemos la ecuación: [pic 4][pic 5]

Cuyo conjunto solución es el mismo de la ecuación

[pic 6]

Un número finito de ecuaciones lineales en las variables  forman un Sistema de Ecuaciones Lineales (SEL). Usualmente, se dice que m ecuaciones lineales de n variables forman un sistema de ecuaciones lineales de orden m × n y es expresado algebraicamente como: [pic 7][pic 8]

Donde los son elementos de ℝ (números reales). [pic 9]

Esta notación la introdujo el matemático alemán del siglo XVII Gottfried Leibniz (Bashmakova et al, 2000), en donde el subíndice del coeficiente, visto como un par de números, identifica al coeficiente tanto con el número de ecuación como con el número de incógnita.

Uno de los propósitos (hay que recordar que su estudio también nos permite construir conceptos formales del álgebra lineal) de estudiar a los SEL es: hallar su solución; es decir, resolver el sistema. La resolución de un SEL es el proceso por el cual encontramos el valor o los valores de las variables que satisfacen simultáneamente a las ecuaciones del sistema. De esta forma llegamos a la siguiente definición:[pic 10]

Definición 1: Se dice que      es solución del sistema 𝑆𝑚𝑥n         

[pic 11]

Cuando cada ecuación del sistema se verifica al sustituir x por s con i =1,.., n.

 Esta definición implícitamente establece que al no haber valores de las variables que satisfagan simultáneamente a todas y cada una de las ecuaciones del sistema, entonces no tiene solución. Otro caso es cuando existe más de una solución para el sistema; entonces el sistema tiene múltiples soluciones, en realidad una infinidad de soluciones. En este sentido, al resolver un SEL se cumple alguno de los siguientes tres casos:

1. Tiene una única solución.
2.  No tiene solución.
3. Tiene un número infinito de soluciones.

Examinando el sistema de ecuaciones lineales más elemental, cuyo orden es 1 1× y tiene la forma: 𝑎𝑥 = 𝑏; surge alguno de los tres casos mencionados anteriormente para ciertos valores de a y b, como se muestra a continuación:

1. Una solución, cuando a ≠ 0 y b es cualquier valor.
2.  Sin solución, cuando a = 0 y b ≠ 0.
3.  Infinitas soluciones, cuando a = 0 y b = 0.

Ahora bien, los sistemas que tienen el mismo número de ecuaciones y de incógnitas (como el anterior) son llamados comúnmente cuadrados. Cabe señalar que en este trabajo principalmente se abordará la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de orden n × n (o cuadrados) como una introducción al estudio de los SEL y en una etapa posterior se extenderá a sistemas rectangulares en general.

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