MÉTODOS DIFERENCIALES

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA

DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL

UNEFA

NUCLEO ARAGUA – SEDE MARACAY

MÉTODOS NUMÉRICOS

Bachilleres:

Prof.: Ing. Jhonny Molleja

López María F. CI. 19516941

Luna María I. CI.19469743

Sección: TED804

Febrero, 2010

INDICE

Pág.

Introducción……………………………………………………………………….. 3

Métodos Numéricos

Métodos Diferenciales…………………………………………………………….4

Método de las diferencias finitas…………………………………………4

Método de los elementos finitos…………………………………………..8

Método de Taylor………………………………………………………...14

Método de Euler…………………………………………………………..15

Métodos Integrales……………………………………………………………….15

Método de los momentos………………………………………………...20

Método del gradiente conjugado………………………………………....29

Conclusión………………………………………………………………………...35

Referencias………………………………………………………………………..36

INTRODUCCIÒN

Un aspecto muy común en la teoría y el diseño de antenas y en el electromagnetismo en general, son las ecuaciones y formulas teóricas tan complicadas que dificultan la solución analítica, motivo por el cual se hace considerar la posibilidad de recurrir a métodos no analíticos, que ofrezcan soluciones alternativas para tal circunstancia. Más aún, cuando las antenas cuentan con geometrías y estructuras muy complejas, cuyo estudio analítico requiere un razonamiento detallado para la formulación de las ecuaciones propias del diseño.

Es por esta razón que surgen los métodos numéricos a partir del año 1960, aunque la idea básica fue desarrollada en el año 1915 por el ingeniero ruso Galerkin. Esto ocurre con la finalidad de contar con una opción que permitiera realizar el análisis de estructuras que era prácticamente imposible llevar a cabo mediante métodos analíticos, para obtener a través de ellos mayor exactitud en los parámetros de una antena, como por ejemplo sus características de radiación. Por otra parte, gracias al avance tecnológico y al perfeccionamiento y aceleración de los computadores en la actualidad, así como a la gran cantidad de softwares que ofrecen una gran variedad de aplicaciones, estos métodos han tomado una importante popularidad en los últimos años, debido a que estos proporcionan además una velocidad de cálculo realmente alta, y disminuyen el trabajo evitando realizar tediosos cálculos que estos problemas involucran. No obstante, cabe destacar que los métodos numéricos no deben ser considerados como un reemplazo de los métodos analíticos, si no más bien, un complemento para ellos.

Los métodos numéricos se clasifican principalmente en función de las ecuaciones electromagnéticas que resuelven y según el dominio en que se trabaje. La presente monografía tiene por objetivo el estudio de algunos de los métodos mas utilizados en la actualidad, su descripción y principales aplicaciones en el diseño y estudio de antenas, como se presenta a continuación.

MÉTODOS NUMÉRICOS

1. MÉTODOS DIFERENCIALES

Los métodos diferenciales son aquellos que se basan en la discretización directa de las ecuaciones de Maxwell o la ecuación de onda, para representar las derivadas mediante la aproximación de diferencias finitas. Dicha discretización conlleva a un sistema de ecuaciones algebraicas cuya solución, en la mayoría de los casos, requiere la inversión de matrices diagonales.

1.1 METODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS

El método de las diferencias finitas radica esencialmente en la diferenciación numérica de las ecuaciones de Maxwell aplicadas en forma local. La idea del este método es sencilla y directa, proviniendo sus complicaciones de la implementación numérica en sí. Las ecuaciones diferenciales se combinan con las correspondientes condiciones de frontera, que por un lado estas determinan los límites del espacio; siendo importante destacar que dichas fronteras son necesarias, debido a que, evidentemente, no es posible resolver punto a punto un espacio infinito debido a las limitaciones físicas de memoria y de procesamiento, constituyendo esta una de las dificultades que presenta este método; por otra parte, las condiciones iníciales del sistema están determinadas por las posiciones de las fuentes y, junto con otros factores, permiten obtener las soluciones pertinentes a cada caso.

Este método resuelve satisfactoriamente problemas de radiación y penetración en complicadas geometrías, y demanda un mínimo preproceso matemático. Para la aplicación de este método se precisa de la definición de una malla volumétrica de puntas que contengan la geometría a analizar. Las expresiones definidas en cada uno de los puntos discretos de la malla, sustituyen las ecuaciones diferenciales obtenidas directamente de las ecuaciones de Maxwell, para de esta manera obtener los campos eléctricos y magnéticos en cualquier punto de región estudiada. No obstante, esta discretización espacial en celdas genera un número elevado de incógnitas, las cuales crecen con el tamaño eléctrico de la estructura.

El recinto de integración se divide en una malla, generalmente de intervalo fijo h, como se muestra en la siguiente figura:

Figura 1

Fuente: http://materias.fi.uba.ar/6209/download/7-Numerico1.pdf

La aplicación del método consiste en realizar el reemplazo de las derivadas por una representación de diferencias finitas en términos de los potenciales en los nodos de la malla. Así:

ɸ(Xi, Xj)= ɸij → ∂ɸ∂x│xi, yj= ɸ'ij ≈ ɸi+1 / 2,j- ɸi-1 / 2,jh

∂2ɸ∂x2 │ xi, yj= ɸ''ij ≈ ɸ'i+1 / 2,j- ɸ'i-1 / 2,jh = ɸi-1, j-2 ɸi,j+ɸi+1, j h2

Consecuentemente, la ecuación de Poisson puede expresarse en este esquema como:

∇2ɸ= -ρε → ɸi-1, j-2 ɸi,j+ɸi+1, j h2+ ɸi,, j-1-2 ɸi,j+ɸi, j+1 h2 ≈ -ρi,jε

Expresión de la cual se puede despejar:

ɸij

...