Problema De Investigacion De Operaciones

Un dentista emplea a tres asistentes. En los dos sillones de su consulta se realizan trabajos de endodoncia y estomatología general. Un servicio de endodoncia requiere 0.75 horas de sillón, 1.5 de trabajo de un asistente y 0.25 horas de trabajo del dentista. Un servicio de estomatología general requiere, respectivamente, 0.75 horas, 1 hora y 0.5 horas. Por cada servicio de endodoncia se obtiene un beneficio de 5000 pesetas y por cada servicio de estomatología general 4000 pesetas. Si tanto el dentista como sus asistentes trabajan 8 horas diarias, ¿cómo debe distribuirse el trabajo, entre endodoncias y sesiones de estomatología general, para que el beneficio diario sea máximo?.

Solución:

Definimos las variables originales como:

1x = número de endodoncias.

2 x = número de sesiones de estomatología general.

• La función a maximizar, beneficio obtenido, será:

F (x1+x2)= 5000x1+4000x2

• Las restricciones lineales del problema se formulan como:

0.75 0.75 16 x1 + x2 ≤ (disponibilidad de tiempo de sillón)

1.5 24 x1 + x2 ≤ (disponibilidad de tiempo de asistentes)

0.25 0.5 8 x1 + x2 ≤ (disponibilidad de tiempo del dentista)

Finalmente, por su definición, tenemos las restricciones de no negatividad

de las variables:

x1, x2 ≥ 0

El planteamiento del problema queda, por tanto, de la siguiente manera:

max ( ) 1 2 5000 1 4000 2 f x , x = x + x

s.a.: 0.75x1 + 0.75x2 ≤ 16

1.5x1 + x2 ≤ 24

0.25 0.5 8 x1 + x2 ≤

, 0 x1 x2 ≥

Simplificando la función objetivo entre 1000, obtenemos la forma estándar al

introducir las correspondientes variables de holgura:

max 5 1 4 2 x + x

s.a.: 0.75 1 + 0.75 2 + 3 = 16 H x x x

1.5 24 1 + 2 + 4 = H x x x

0.25 0.5 8 1 + 2 + 5 = H x x x

, , , , 0 1 2 3 4 5 ≥ H H H x x x x x

La solución factible básica inicial es:

0 x1 = x2 = , 16 3 = Hx , 24 4 = Hx , 8 5 = Hx

Así, obtenemos la tabla inicial del algoritmo del Simplex:

Continuamos con las siguientes iteraciones:

Obtenemos, por tanto, la solución óptima cuyo valor es:

8 * x1 = endodoncias, 12 * x2 = sesiones de estomatología general,

88000 * Z = pesetas de beneficio máximo.

Este problema puede ser resuelto aplicando el método gráfico:

Ahora, calculamos los vértices y el valor que toma en ellos la función

objetivo:

A = (0,0), B = (16,0), C = (8,12), D = (0,16)

f (A) = 0, f(B) = 80000, f(C) = 88000, f(D) = 64000

Por tanto, obtenemos la misma solución: 8 endodoncias y 12 sesiones de

estomatología

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