TECNOLOGIA EN PROCESOS INDUSTRIALES

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN FUNCIONES

JUAN ESTEBAN DIAZ BALLESTEROS

TECNOLOGIA EN PROCESOS INDUSTRIALES

UNIVERSIDAD ECCI

BOGOTÁ

2019

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN        3

OBJETIVOS        4

General        4

Específicos        4

Funciones inversas        5

Propiedades        5

Método para Hallar la Inversa de una Función        5

Procedimiento        5

Ejemplo        5

Criterio de la Recta Horizontal        6

Operación inversa de la Potenciación        7

Función inversa de una función racional        7

Funciones trigonométricas inversas        9

Función exponencial        12

Función logarítmica        14

Funciones hiperbólicas        15

Conclusiones        16

Cibergrafia        17

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo se analizarán y se dará explicación a los distintos tipos de funciones inversas donde se verá al detalle el por qué inversas o recíproca de una función f a una nueva función cuyo dominio es la imagen de la función inicial, y su imagen es el dominio de la función inicial.

OBJETIVOS

General

Reconocer las funciones inversas

Específicos

1. Identificar los tipos de funciones inversas
2. Reconocer que funciones tienen inversa
3. Desarrollar ejemplos de cada tipo de función
4. Encontrar las aplicaciones

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

Los orígenes del Cálculo estuvieron motivados por el deseo de resolver diversos problemas vinculados al movimiento de los cuerpos, así como problemas de tipo geométrico de importancia en Óptica y problemas de cálculo de valores máximos y mínimos de una función dada. Simplificando, podemos destacar dos problemas principales:

• Determinar la tangente a una curva en un punto (el problema de las tangentes).

• Determinar el área encerrada por una curva (el problema de las cuadraturas).

Son los conceptos de derivada e integral, respectivamente, los que permiten resolver satisfactoriamente dichos problemas. Mientras que el concepto de integral tiene sus raíces en la antigüedad clásica, la otra idea fundamental del Cálculo, la derivada, no se formuló hasta el siglo XVII. Fue el descubrimiento efectuado por Sir Isaac Newton (1642 - 1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) de la relación entre estas dos ideas, tan dispares en apariencia, lo que inició el magnífico desarrollo del Cálculo. Si bien los trabajos de Newton y Leibniz son decisivos por sus aportaciones e influencia, no hay que olvidar que ellos son el punto culminante de un largo proceso en el que han participado científicos de la talla de Johannes Kepler (1571 - 1630), René Descartes (1596 - 1650), Pierre de Fermat (1601 - 1665), John Wallis (1616 -1703) e Isaac Barrow (1630 - 1677) entre otros.

Propiedades

Aplicar Derivadas en el Cálculo de Velocidad y Aceleración de un Objeto que se Mueve en Línea Recta

Una función f es derivable en a si f'(a) existe. Es derivable en un intervalo abierto (a, b) (o [a,∞) o (-∞,a), (-∞,∞)) si es derivable en todo número del intervalo.

Velocidad

Sea s =f(t) la función posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta numérica. L a velocidad (instantánea) del objeto en el instante t está dada por:

V(t)= ds /dt = f ´(t)

La velocidad es positiva o negativa, si el objeto se desplaza en el sentido positivo o negativo de la recta numérica. Si la velocidad es cero el objeto está en reposo.

Ejemplo:

Un objeto se mueve sobre una recta de acuerdo a la ecuación s= 3t2-8t+7

Donde s se mide en centímetros y t en segundos

Hallar la velocidad del objeto cuando t=1 y cuando t=5

Solución

Tenemos que V(t)= ds / dt = 6t-8 (ds/dt = d(3t2-8t+7) / dt= 6t-8)

Luego v(t)= 6(1) - 8= -2 cm/seg (evaluando para t=1)

y v(t)= 6(5) - 8= 22 cm/seg (evaluando para t=5)

Aceleración

Sea s= f(t) la función posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta numérica. La aceleración (instantánea) del objeto en el instante t, está dada por:

a(t)= dv /dt =f"(t)

Ejemplo:

Un objeto se mueve sobre una recta de acuerdo a la ecuación s= t3-3t+1

Donde s se mide en metros y t en segundos.

a. ¿En qué instante la aceleración es cero?

b. Hallar la aceleración en los instantes en que la velocidad es cero.

Solución

Tenemos que: v(t)=ds/dt=3t2-3 y a(t)= dv /dt=6t

a. a(t) = 0 si y sólo si 6t = 0 si y sólo si t = 0. Esto es la aceleración es 0 en el instante t = 0

b. a(-1) = 6(-1) = - 6m/seg y a(1) = 6(1) = 6m/seg. (Dinorkis, 2014)

Diferencial de una función

Si f(x) es una función derivable, la diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h.

La diferencial de una función se representa por dy.

[pic 1]

[pic 2]

Interpretación geométrica

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable independiente.

Ejemplos

1. [pic 6]

[pic 7]

2. [pic 8]

[pic 9]

3.[pic 10]

[pic 11]

[pic 12] (Marta)

La derivada como razón de cambio instantánea

Observa que la razón de cambio instantánea es un límite:

[pic 13]

Cuando calculamos la razón de cambio promedio, geométricamente estamos calculando el valor de la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por los puntos P(t,y(y)) y Q(t+\Delta t, y(t+\Delta t)). Por otra parte, cuando calculamos la razón de cambio instantánea estamos calculando la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(t) en el punto P(t_0,y(t_0)).

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