Series son una parte esencial en el campo de las Matemáticas

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INTRODUCCION

En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + · · lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio:

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El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.

Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.

DEFINICION DE SERIE.

Las series son una parte esencial en el campo de las Matemáticas.

Aunque se define simplemente como la suma de términos finitos o infinitos, tiene una gran importancia.

Una serie finita termina finitamente, esto es, tiene definido tanto el primer como el último término.

Por otro lado, una serie infinita continúa sin interrupción.

Por ejemplo: {1, 3, 6, 8} se puede considerar como una serie finita, mientras que una serie de la forma {2, 4, 6 8…} es un ejemplo de serie infinita.

En algunos casos, es beneficioso convertir un número o una función en forma de series infinitas lo cual a su vez puede ayudar en su cálculo.

Incluso puede lograr que el cálculo complejo sea más fácil.

Por ejemplo, para el cálculo exponencial, este puede ser convertido en la forma:

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Esta técnica de expansión puede ser utilizada eficazmente con el fin de obtener los valores estimados de la función, de las integrales o para resolver ecuaciones diferenciales, algebraicas o integrales.

Cuando la serie infinita es reemplazada por la suma de los términos inicialesde la serie, un valor de error aproximado puede ser estimado, lo que a su vez, ayuda en la determinación de la razón de convergencia efectiva para la serie correspondiente.

Las series pueden ser convergentes o divergentes. Una serie convergente tiene las siguientes propiedades:

1) Si el término parcial de la sucesión de la serie converge, entonces se dice que toda la serie es convergente. Por otro lado, si el término parcial de la sucesión diverge, la serie también diverge.

2) En caso que el resto de alguna parte de la serie converja, entonces toda la serie converge y viceversa.

3) Si una serie de la forma [pic 5] converge, entonces la serie de la forma [pic 6] converge también.

4) Si la serie de la forma [pic 7] converge, entonces la serie de la forma [pic 8] converge.

5) La serie [pic 9] converge, sólo con la condición de que [pic 10] también converja.

6) Se dice que una serie de la forma [pic 11] es convergente si α> 1 y diverge en el caso inverso, es decir, cuando α<1.

Puede suceder el caso que la suma de las series sea desconocida.

En ese caso, la condición de Cauchy puede ser utilizada con el fin de encontrar la convergencia de la serie.

De acuerdo con la condición de Cauchy, existe un número n ∊ para cada ∊> 0, el cual satisface la condición[pic 12], n>n ε. Aquí p es un entero positivo.

Una serie que contiene los términos positivos tiene su importancia en la teoría de las series.

Una condición necesaria e importante para que estos tipos de series sean convergentes es que la sucesión de la suma parcial debe ser limitada.

Por otro lado, si se cumple la condición[pic 13], entonces la serie diverge.

Veamos un ejemplo del concepto de series convergentes y divergentes. Suponga que la forma de la series.

Con el fin de determinar si la serie dada converge o diverge, lo primero y más importante a determinar es si la suma parcial de la sucesión diverge o converge. La suma parcial de la sucesión para la serie correspondiente puede ser dada como[pic 14]. Se puede observar que el límite de los términos de la suma parcial es divergente al infinito[pic 15].

Por lo tanto, se dice que toda la serie es divergente.

SERIE INFINITA

Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales.

Son series de la forma S an (x - x0)n ; los números reales a0, a1, .... , an, ... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an . xn.

Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0 ; solo estudiaremos series de potencias de este último tipo.

Se presentan tres situaciones posibles: series que convergen solamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros. Esto conduce al siguiente:

Teorema:

Si la serie de potencias S an .xn converge para el valor x0 ¹ 0, entonces converge en valor absoluto para cualquier x / ô xô < ô x0ô .

SERIE FINITA

Sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término (que no sea el primero) y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón 2; y 1, 1, 3, 7, 9, >, … (1)i, es una progresión geométrica con razón 1.

 La primera es una progresión geométrica finita con siete términos; la segunda es una progresión geométrica infinita.

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