SERIE MATEMATICA

En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a_1 + a_2 +a_3 + a_4 + a_5 + a_6 \dots \;\; lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio: \sum_{1\le n} a_n.

El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.

Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.

Índice [ocultar]

1 Definiciones

1.1 Sumas parciales

1.2 Convergencia

2 Ejemplos

3 Convergencia de series

4 Véase también

5 Referencias

6 Enlaces externos

Definiciones[editar]

Sumas parciales[editar]

Para cualquier sucesión matemática \{a_n\} de números racionales, reales, complejos, funciones, etc., la serie asociada se define como la suma formal ordenada:

\sum_{n=0}^{\infty}a_n = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots .

La sucesión de sumas parciales \{S_k\}\ asociada a una sucesión \{a_n\}\ está definida para cada k\ como la suma de la sucesión \{a_n\}\ desde a_0\ hasta a_k\ :

S_k = \sum_{n=0}^{k}a_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_k.

Muchas de las propiedades generales de las series suelen enunciarse en términos de las sumas parciales asociadas.

Convergencia[editar]

Por definición, la serie \sum_{n=0}^{\infty} a_n converge al límite L\ si y solo si la sucesión de sumas parciales asociada S_k converge a L\ . Esta definición suele escribirse como

L = \sum_{n=0}^{\infty}a_n \Leftrightarrow L = \lim_{k \rightarrow \infty} S_k.

Ejemplos[editar]

Una serie geométrica es aquella en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón r. En este ejemplo, la razón r = 1/2):

1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^{\infty}{1 \over 2^{n}}.

En general, una serie geométrica es convergente, sólo si |z| < 1, a:

\sum_{n=0}^{\infty} az^n = {a \over 1 - z}

La serie armónica es la serie

1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.

La serie armónica es divergente.

Una serie alternada es una serie donde los términos cambian de signo:

1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {1 \over n}.

Una serie telescópica es la suma \textstyle \sum a_n , donde an = bn − bn+1:

\sum_{n=0}^N ( b_{n}-b_{n+1} )

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

S_N=(b_0-b_1)+(b_1-b_2) + \cdots + (b_{N-1} - b_{N}) +(b_N - b_{N+1}) = b_0 - b_{N+1}

Una serie hipergeométrica es una serie de la forma:

\sum_{n=0}^{\infty} a_n\, , con {a_{n+1}\over a_n}\, = {\alpha n + \beta}\over {\alpha n + \gamma}\, .

Convergencia de series[editar]

Véanse también: Serie convergente y Serie divergente.

Una serie  ∑an  se dice que es convergente (o que converge) si la sucesión SN de

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