Métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos

Introducción:

En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + • • lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio:

El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.

Una secuencia o cadena finita, tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.

4.1 Definición de serie

Serie es una sucesión de un conjunto de términos formados según una ley determina.

Por ejemplo, 1, 4, 9,16,25

Es la suma indicada de los términos de una secesión. Así de las sucesiones anteriores obtenemos la serie:

1+4+9+16+25

Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión o serie es finita. Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión o seriede llama sucesión infinita.

El término general ó término enésimo es una expresión que indica la ley de formación de los términos.

4.1.1 Serie finita

Sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término (que no sea el primero)

y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón 2; y 1, 1, 3, 7, 9, >, … (1)i, es una progresión geométrica con razón 1.

La primera es una progresión geométrica finita con siete términos; la segunda es una progresión geométrica infinita.

4.1.2 Serie infinita

En matemáticas, la expresión 1 − 2 + 3 − 4 + • • • es una serie infinita cuyos términos son los números enteros positivos, que van alternando sus signos. Utilizando notación matemática para sumatorias, la suma de los primeros m términos de la serie se expresa como:

EJEMPLO 1:

En las observaciones iníciales de este capítulo se indicó que la representación decimal del numero racional 13 es en la realidad, una serie infinita.

310 +310 2 +3103 +k=1∞310k

* SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES

Para cada serie infinita ∑ ak existe una sucesión de sumas parciales {Sn} definida como sigue:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

.

.

.

Sn = a1 + a2 + a3 +… +an

EJEMPLO 2 :

La sucesión de sumas parciales de k=1∞310k es

S1 = 310

S2 = 310 + 3102

S3 = 310 + 3102 + 3103

Sn = 310 + 3102 + 3103 + 310n

En el ejemplo 2 cuando n es muy grande Sn, dará una buena aproximación a 13 y de esta manera parece razonable escribir 13 =limn→∞k=1n310k =k=1∞310k

Esto conduce a la definición siguiente:

Se dice que una serie infinita k=1∞ak es converge la sucesión de sumas parciales {Sn}; esto es limn→∞k=1∞ak =S .

El numero S es la suma de las serie ,S ; limn→∞Sn no existe , se dice entonces que la serie es divergente

TEOREMA

Si la serie infinita k=1+∞un es convergente , entonces limn→∞un= 0

4.2.1 Serie numérica y convergencia Prueba de la razón (criterio de D´Alembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy).

Criterios de convergencia

Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ( u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de que tipo es (convergente o divergente).

Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)

Sea una serie , tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).

Si existe

con , el Criterio de D'Alembert establece que:

• si L < 1, la serie converge.

• si L > 1, entonces la serie diverge.

• si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sea una serie , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

, siendo

Entonces, si:

• L < 1, la serie es convergente.

• L > 1 entonces la serie es divergente.

• L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

4.3 Serie de potencias

Repaso de las series de potencias No obstante lo que describe la sección 4.7, la mayor parte de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables no se puede resolver en términos de funciones elementales. Una técnica normal para resolver ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con coeficientes variables, es tratar de encontrar una solución en forma de serie infinita. Con frecuencia se puede expresar la solución en forma de una serie de potencias; razón por la cual es adecuado citar una lista de algunas de sus propiedades más importantes. Para un repaso detallado del concepto de series infinitas, consúltese un libro de cálculo infinitesimal.

Definición de una serie de potencias Una serie de potencias en x - a es una serie infinita de la forma X;f= 0 c,(x - a)“. También, se dice que esa serie es una serie de poten- cias centrada en a; por ejemplo, IX;= 1 (-l)“+ ’ ~ xn es una serie de potencias en x centrada en cero

Convergencia Dado un valor de X, una serie de potencias es una serie de constantes. Si la serie equivale a una constante real finita para la x dada, se dice que la serie converge en x. Si no converge en x, se dice que diverge en x

Intervalo de convergencia Toda

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