ACTIVIDAD 5. DISTRIBUCIONES COMÚNMENTE UTILIZADAS

ACTIVIDAD 5. DISTRIBUCIONES COMÚNMENTE UTILIZADAS

MAIRA DOLORES RAMÍREZ MENDIOLA

Una distribución de probabilidades para una variable aleatoria discreta es un listado mutuamente excluyente de todos los resultados numéricos posibles para esa variable aleatoria tal que una probabilidad específica de ocurrencia se asocia con cada resultado.

El valor esperado de una variable aleatoria discreta es un promedio ponderado de todos los posibles resultados, donde las ponderaciones son las probabilidades asociadas con cada uno de los resultados.

Distribución normal

La distribución normal es una distribución con forma de campana donde las desviaciones estándar sucesivas con respecto a la media establecen valores de referencia para estimar el porcentaje de observaciones de los datos. En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales

Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución.

Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de parámetros μ y σ y se denota X~N(μ, σ) si su función de densidad está dada por:

[pic 1]

Donde: 

μ (mu)= es la media 

σ (sigma)= es la desviación típica 

Propiedades de la distribución normal:

1. Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana.
2. La curva normal es asintótica al eje de abscisas.  Por ello, cualquier valor entre [pic 2] y [pic 3] es teóricamente posible.  El área total bajo la curva es, por tanto, igual a 1.

1. Es simétrica con respecto a su media [pic 4].  Según esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor.
2. La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la curva es igual a una desviación típica ([pic 5]).  Cuanto mayor sea [pic 6], más aplanada será la curva de la densidad.
3. El área bajo la curva comprendido entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estándar de la media es igual a 0.95.  En concreto, existe un 95% de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo [pic 7].
4. La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros [pic 8] y [pic 9]. La media indica la posición de la campana, de modo que para diferentes valores de [pic 10] la gráfica es desplazada a lo largo del eje horizontal.  Por otra parte, la desviación estándar determina el grado de apuntamiento de la curva.  Cuanto mayor sea el valor de [pic 11] , más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana. 

No existe una única distribución normal, sino una familia de distribuciones con una forma común, diferenciadas por los valores de su media y su varianza.  La más utilizada es la distribución normal estándar, que corresponde a una distribución de [pic 12]=0 y [pic 13]=1.   Siendo la expresión que define su densidad para este caso:

[pic 14]

Es importante conocer que, a partir de cualquier variable X que siga una distribución [pic 15], se puede obtener otra característica Z con una distribución normal estándar, sin más que efectuar la transformación:

[pic 16]

Esta propiedad resulta especialmente interesante en la práctica, ya que para una distribución [pic 17] existen tablas publicadas a partir de las que se puede obtener de modo sencillo la probabilidad de observar un dato menor o igual a un cierto valor z, y que permitirán resolver preguntas de probabilidad acerca del comportamiento de variables de las que se sabe o se asume que siguen una distribución aproximadamente normal.

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