ALGEBRA I –BLOQUE I

Universidad Nacional de La Rioja

Sede Villa Unión

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ALGEBRA I –BLOQUE I

Profesorado Universitario en Matemática para el nivel medio y superior

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Introducción:

Cantidades literales. La distancia entre dos lugares, el peso de un objeto, la superficie de un patio, etc, son cantidades, porque se pueden medir. Para medir una cantidad es preciso compararla con otra de la misma especie, llamada unidad de medida. La comparación consiste en averiguar cuántas veces está contenida la unidad en la cantidad, y el resultado se expresa por un número que tiene la misma denominación de la unidad. Así, si un objeto pesa 35 kilogramos, significa que el kilogramo (la unidad) se repite 35 veces para completar el peso del objeto.

La aritmética estudia los números y las combinaciones que dan lugar las operaciones fundamentales.

Entre las cuestiones del cálculo aritmético se presentan grupos de problemas que sólo se diferencian en los valores numéricos de los datos. Tales problemas se resuelven con el mismo razonamiento.

Ejemplo:

18 Kg de una mercadería valen $ 72. ¿Cuánto valen 30 kg. De esa mercadería?

Razonamiento: Si 18 Kg valen $72, uno valdrá la 18 ava parte de $72 [pic 9], y 30 Kg valdrán 30 veces este valor, es decir:[pic 10]

Todos los problemas análogos a éste se resuelven haciendo el mismo razonamiento, con diferencia sólo de los valores de los datos.

Para formar un  problema que comprenda todos los de la misma clase, designamos el número de unidades y sus valores por letras. El enunciado será entonces el siguiente:

El valor de m kilogramos de una mercadería es p pesos. ¿Cuánto valen n Kilogramos de esta mercadería?.

Razonamiento: Si m Kilogramos valen p pesos, uno valdrá la m ava parte, lo que se escribe [pic 11] y n  Kilogramos valdrán n veces ese valor, es decir, [pic 12].

Este resultado remplaza el razonamiento que en aritmética se hace en cada problema de esta categoría. Si designamos por x el valor pedido, la solución del problema general se expresa por la siguiente fórmula:

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Para los casos particulares basta sustituir en esta fórmula las letras por sus valores numéricos y ejecutar en seguida las operaciones.

De la designación de los datos de un problema general por letras, deriva el nombre de cantidades literales, en contraposición a cantidades numéricas, que se representan por la combinación de las cifras usadas en aritmética.

Notación Algebraica. El álgebra, a objeto de simplificar los resultados de las cuestiones relativas a los números, de enunciar con brevedad las reglas y de generalizar los problemas y las soluciones, representan las cantidades por las letras del alfabeto, como signos más universales. En esta notación se usan las letras aisladamente y en combinación con cifras.

Las cantidades conocidas de un problema, o sea, los datos, se representan por las primeras letras del alfabeto y las desconocidas, o sea,  las incógnitas, se representan por las últimas letras.

Las operaciones se indican con los mismos signos usados en aritmética.

Sean a y b dos cantidades. La suma de éstas cantidades es a + b.

La diferencia entre a y b es  a – b.

El producto entre a y b es axb, o simplemente ab. El punto o x (multiplicado por) para indicar el producto se usa sólo cuando los factores son numéricos, por ejemplo,  6 . 3 o  6 x 3.

El cociente entre a y b es a : b y también [pic 14]

Además, se usan los siguientes signos para indicar relación entre las cantidades: =, >, <.

El signo igual ( =) sirve para expresar la relación de igualdad entre dos cantidades:

x = a  + b

Significa x es igual a la suma de a con b. Las dos cantidades relacionadas con el signo =  son los  miembros de la igualdad. Toda la expresión que está a la izquierda del signo igual es el primer término y la que está a la derecha es el segundo miembro.

El signo > sirve para indicar que la cantidad de la izquierda del signo es mayor que la de la derecha:

a > b significa que a es mayor que b.

El signo < sirve para indicar que la primera cantidad es menor que la segunda:

b

Las expresiones relacionadas por los signos > y < forman una desigualdad. Las dos partes de una desigualdad se llaman miembros de una desigualdad. La cantidad mayor está colocada siempre al lado de la abertura del signo.

Ejercicios

1. ¿Cómo se forma el número entero que sigue de 7?,¿Cómo se obtiene el anterior?. ¿Cuál es el número que sigue de a en el sistema de números enteros?, ¿Cuál es el anterior?.
2. Nombrar y escribir los números enteros que siguen de 15, de x, de 4z y los  que preceden a los mismos números.
3. Expresar y escribir la suma y la diferencia de b y 1, de c y d, x e y.
4. ¿Cuántas unidades más tiene 15 que 8?. Si p es mayor que m, ¿cuántas unidades más tiene p que m?.
5. ¿Cuántas unidades más tiene a que a-b?. ¿Cuántas unidades menos tiene a que a+b?.
6. Un objeto comprado en $12 se vendió con $8 de ganancia. ¿En cuánto se vendió?. Un objeto comprado en m pesos se vendió con n pesos de ganancia. ¿En cuánto se vendió?.
7. Un objeto comprado en $15 se vendió en $19. ¿Cuál es la ganancia?. Un objeto comprado en c pesos se vendió en v pesos. Si la venta es mayor que la compra, ¿Cuál es la ganancia?. Si el objeto se hubiera vendido con pérdida, ¿cuánto se habría vendido?.
8. Un objeto se vendió en p pesos, ganando $9. ¿Cuánto había costado?.
9. La suma de dos números es s y uno de los sumandos es a. ¿Cuál es el otro sumando?.
10. Si la edad actual de una persona es n años, ¿qué edad tenía 8 años antes?, ¿Qué edad tendrá 4 años después?.
11. ¿Cuál es el doble de x, el triple de y, el cuádruplo de z?.
12. Si un número cualquiera es n, ¿cómo se expresa un número par?. Partiendo de la designación de un número par, ¿cómo se expresa un número impar?.
13. Si un metro de género vale $c, ¿cuánto valen 5 metros, n metros?.
14. Si n hombres hacen un trabajo en 19 días, ¿en cuántos días hará el trabajo un hombre?.
15. ¿Cuál es la cuarta parte de a?, ¿cuál es la n ava parte de a?.
16. Si f metros de género valen $p, ¿cuánto vale un metro?.
17. El producto de dos números es c y uno de los factores es a. ¿Cuál es el otro factor?.

Expresiones Algebraicas; paréntesis

Expresión algebraica es el conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas.

Las partes de una expresión algebraica separadas por los signos más o menos se llaman términos de la expresión. Término es entonces una cantidad aislada o separada de otras por el signo + o -  .

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