ALGEBRA LINEAL. La multiplicación de un vector

1. La multiplicación de un vector por un escalar producen un cambio de intensidad en el color asociado al vector, entre más cercano al 0 sea el escalar menos intenso será el color y por el contrario mientras más cercano al 1 sea el escalar más intenso será el color.

Ejemplo con valores cercanos a cero.

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Ejemplo con valores cercanos a uno.

[pic 2]

1. 1. Se multiplica un valor R entre 0 y 1 por el vector correspondiente al color Rojo, Verde y azul.

2. Se suman los vectores correspondientes a cada color y el vector resultado da el color final.

3. en el ejemplo que se muestra a continuación multiplicamos el valor real C1=1 por el vector correspondiente al color rojo, el valor real C2=0,5 por el vector correspondiente al color verde y el valor real C3=0,8 por el vector correspondiente al color azul y finalmente se suman y nos da como resultado un vector el cual corresponde a un naranja opaco.

[pic 3]

1. En la sección configurar colores se seleccionó el siguiente vector cuyas componentes son valores entre 0 y 255 dando como resultado un color amarillo claro.

[pic 4]

[pic 5]

Existen valores c1, c2 y c3 tales que:

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Proceso matemático.

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[pic 9]

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[pic 11]

Despejar c1 para 255c1=245

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Despejar c2 para 255c2=157

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Despejar c3 para 255c3=97,5

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Verificación

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1. Existen valores c1, c2 y c3 que permitan generar cualquier color a partir de los vectores:

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Se quiere generar el siguiente color:

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Solución:

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Definimos el siguiente sistema de ecuaciones con los vectores dados.

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Solución del sistema de ecuaciones, despejar c2 de la ecuación 2.

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Sustituir c2=0,8627 en la ecuación 3.

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Despejar c3 de la ecuación 3.

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[pic 27]

Sustituir c3=0,0618 en la ecuación 1.

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Despejar c1 de la ecuación 1.

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[pic 31]

Verificación.

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1. Para que no se vea alterado el color y el vector original la matriz debe cumplir la característica de ser la matriz identidad, por sus propiedades es el elemento neutro del grupo de matrices de orden N.

Verificación:

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1. Primer paso: se asignaron valores aleatorios entre 0 y 255 a las componentes del vector correspondiente del color original y se multiplico por la matriz de identidad, verificando que no altere el color en el color final.

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Segundo Paso:

Para modificar solo el componente del vector asociado al rojo se asigna valores a la primera fila de la matriz y la segunda y tercera fila continuan con iguales valores, como se aprecia en la siguiente imagen de Geogebra.

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Tercer paso:

Para modificar solo el componente del vector asociado al verde se asigna valores a la segunda fila de la matriz y la primera y tercera fila continuan con iguales valores, como se aprecia en la siguiente imagen de Geogebra.

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