APUNTES DE SIMETRIA

INTRODUCCION

Una propiedad distintiva del estado cristalino es la repetición regular, en el espacio tridimensional, de un objeto. Este objeto puede estar constituido por átomos, moléculas o grupos de moléculas, y la regularidad en el ordenamiento se extiende más allá a una distancia correspondiente a las dimensiones de miles de moléculas. Sin embargo, un cristal tiene, necesariamente, una cierta cantidad de defectos a bajas temperaturas y/o puede contener impurezas sin perder su ordenamiento. Más aún:

• Algunos cristales no muestran periodicidad tridimensional porque la periodicidad cristalina básica es modulada por distorsiones periódicas inconmensurables.
• Algunos polímeros solo muestran un orden bidimensional. La mayoría de los materiales fibrosos son ordenados solo a lo largo de los ejes de las fibras.
• Algunos cristales orgánicos, cuando se calientan convenientemente, asumen un estado intermedio entre líquido y sólido, el llamado estado mesomórfico o de cristal liquido

Como se puede ver, la periodicidad en los cristales se puede observar en los cristales en una menor o mayor extensión, dependiendo de su naturaleza o de las condiciones termodinámicas de su formación. En estas circunstancias, es útil introducir el concepto de cristal real, para diferenciar el cristal ideal que tiene periodicidad perfecta. Aunque lo no-idealidad puede ser un problema algunas veces, más frecuentemente es la causa de propiedades favorables que son usadas ampliamente en ciencias de los materiales y física del estado sólido.

Para entender la naturaleza ordenada y periódica de los cristales es necesario conocer las operaciones por medio de las cuales se obtiene la repetición del motivo molecular base. Un paso importante en este sentido se alcanza cuando contestamos la siguiente pregunta: ¿dados dos objetos idénticos, colocados en posiciones aleatorias, que operación se debe realizar para superponer un objeto al otro?

Una respuesta exhaustiva a esta pregunta se puede conseguir analizando la teoría de las transformaciones isométrica. Según esta teoría:

• Dos objetos son congruentes si cada punto de un objeto corresponde a un punto del otro y si la distancia entre dos puntos de un objeto es igual a la distancia entre los correspondientes puntos del otro. Como una consecuencia, los correspondientes ángulos también serán iguales en valor absoluto. En matemáticas esta correspondencia se llama isométrica
• La congruencia puede ser directa u opuesta, de acuerdo a si los correspondientes ángulos tienen signos iguales u opuestos. Si la congruencia es directa un objeto se puede hacer coincidir con el otro por un movimiento conveniente durante el cual se comporta como un cuerpo rígido. Los movimientos pueden ser:

1. Una traslación: Cuando todos los puntos del objeto experimentan un desplazamiento igual en una dirección
2. Una rotación alrededor de un eje; todos los puntos sobre el eje no cambiaran su posición
3. Una rototraslación o movimiento de tornillo, que se puede considerar como una combinación de una rotación alrededor de un eje y una traslación lo largo de la dirección axial (el orden de las dos operaciones se puede cambiar)

• Si la congruencia es opuesta, entonces un objeto se considerará como enantiomorfo con respecto al otro. Los dos objetos se pueden hacer coincidir a través de las siguientes operaciones:

1. Una operación de simetría respecto a un punto, conocida como inversión.
2. Una operación de simetría respecto a un plano, conocida como reflexión.
3. El producto de una rotación alrededor de un eje por una inversión con respecto a un punto sobre el eje, la operación se llama rotoinversion
4. El producto de una reflexión por una traslación parallela al plano de reflexión, el plano es llamado plano de deslizamiento.
5. El producto de una rotación por una reflexión con respecto a un plano perpendicular al eje. La operación se llama rotoreflexion.

ELEMENTOS DE SIMETRIA

Supongamos que las operaciones isométricas que hemos descrito actúan sobe todo el espacio. Si todas las propiedades del espacio se mantienen sin cambio después que una operación dada se ha llevado a cabo, la operación  será una operación de simetría. Los elementos d simetría son puntos, ejes o planos con respecto a los cuales tienen lugar las operaciones de simetría.

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