APUNTS D’ESTADÍSTICA

APUNTS D’ESTADÍSTICA

DAVID ROS QUINTANA

ENGINYERIA MECÀNICA

1er CURS 2n QUADRIMESTRE

12/11/2019

ESCOLA POLITÈCNICA SUPERIOR D’ENGINYERIA DE MANRESA

TEMA 1: INTRODUCCIÓ A L’ESTADÍSTICA

CONCEPTES PREVIS

POBLACIÓ: Conjunt total d’individus subjectes a estudi.

MOSTRA: Subconjunt d’individus seleccionats a estudiar.

VARIABLE ESTADÍSTICA: Característica que estudiem als individus. (edat, estudis…)

TIPUS DE VARIABLES: Dos tipus de variables:

Qualitatives: els valors són categories o classes (color d’ulls…)

Quantitatives: els valors són nombres:

Discretes: valors numèrics aïllats (nombre de fills…).

Contínues: els valors poden ser qualsevol nombre en un interval (pes, edat…).

Ordinals: els valors són categories ordenades. (nivell d’estudis: sense estudis, primària…).

VARIABLES QUANTITATIVES

Descriptors de tendència central:

Mitjana aritmètica:

x ̅=1/n·∑_(i=1)^n▒x_i

Mediana: és el valor que deixa el 50% de les dades per sota i l’altre 50% per sobre.

Dx = [1, 0, 0, 2, 3, 3, 4, 1, 5] => Dx = [0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5] = (D_x ) ̂=(n+1)/2=10/2=5

Med(x) = 2

Moda: és el valor més freqüent.

Descriptors de posición:

Mínim i màxim: són els valors més petit i més gran de la mostra.

Percentilsα: nombre que deixa el percentatge α de la mostra per sota i el percentatge (1-α) per sobre.

0 ≤ α ≤ 1 Mediana = Percentil0,5

Quartils: nombre que deixa un determinat quart per sota i la resta per sobre.

Primer quartil: nombre que deixa el 25% de la mostra per sota i el 75% per sobre.

Segon quartil: nombre que deixa el 50% de la mostra per sota i el 50% per sobre.

Tercer quartil: nombre que deixa el 75% de la mostra per sota i el 25% per sobre.

Quart quartil: nombre que deixa el 100% de la mostra per sota i el 0% per sobre.

Mediana = Segon quartil

Descriptors de dispersió:

Rang: és l’amplitud que hi ha entre el màxim i el mínim, és a dir:

R=màx-mín

IQR (Rang interquartil) = Q3 – Q1

Variància i desviació típica:

Variància: s_x^2=1/n·∑_(i=1)^n▒(x_i-x ̅ )^2 =(1/n·∑_(i=1)^n▒x_i^2 )-(x ̅ )^2

Desviació típica: s_x=√(s_x^2 )

Quasi-variància: s ̂_x^2=1/(n-1)·∑_(i=1)^n▒(x_i-x ̅ )^2 s_x^2·n=s ̂_x^2·(n-1)

TEMA 2: ELEMENTS DE PROBABILITAT

EXPERIMENTS ALEATORIS

Experiment: Observar sota condicions controlades i repetibles.

Prova: cada repetició de l’experiment.

Espai mostral (Ω): conjunt de possibles resultats.

Exemple dau: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Succés aleatori: subconjunt de l’espai mostral.

Succés elemental: cada un dels possibles resultats. (Que surti el 6)

Succés compost: succés que té més d’un element. (Que surti un nombre parell)

Succés impossible: succés fora de l’espai mostral. (Que surti el 0)

Succés segur: tot l’espai mostral. (Que surti 1, 2, 3, 4, 5 o 6)

A∪B: A ∩B:

si A⊂B, A ̅⊃B ̅ (A∪B) ̅=A ̅∩B ̅ (A∩B) ̅=A ̅∪B ̅

PROBABILITAT

Càlcul de probabilitats

P(A ̅ )=1-P(A)

P(A-B)=P(A)-P(A∩B)

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

A⊂B ⇒P(A)≤P(B)

P(0)=0

P(A△B)=P(A)+P(B)-2P(A∩B) (O un o l’altre però no els dos)

Interpretació freqüencial de les probabilitats

Interpretació de les probabilitats:

Freqüencial: P(A)=lim┬(N→∞)⁡〖N_A/N〗: Necessita de moltes proves per determinar un resultat.

Probabilitat teòrica o Regla de Laplace

Probabilitat subjectiva: Necessita la opinió d’un expert en la matèria. (P.ex si demà farà sol o plourà)

Probabilitat condicionada

Probabilitat que passi A condicionada pel fet que B ja ha passat:

P(A│B)=P(A∩B)/P(B) P(B│B)=1 P(B ̅│B)=0

Regla del producte

P(A∩B)=P(A│B)·P(B)

Successos independents

P(A∩B)=P(A)·P(B) P(A│B)=P(A) P(B│A)=P(B)

Fòrmula de probabilitats totals

Partició:

A∪B∪C=Ω

A∩B=0

A∩C=0

B∩C=0

Teorema de Bayes:

A1, A2, A3 partició | B un succés

Sabem: P(A1), P(A2), P(A3), P(B|A1), P(B|A2), P(B|A3)

P(B)=P(B│A_1 )·P(A_1 )+P(B│A_2 )·P(A_2 )+P(B│A_3 )·P(A_3 )

P(A_j│B)=(P(B│A_j )·P(A_j ))/P(B)

Variables aleatòries contínues

X v.a. contínua → Pren qualsevol valor d’un interval. Ex. (durada d’una bombeta)

...