Act1_Álgebra Superior

ACTIVIDAD 1

1.- ¿Quiénes fueron los precursores de la lógica matemáticas y cuáles fueron sus contribuciones?

a) Giuseppe Peano: Hace un análisis demostrativo de la matemática; establece la formulación axiomática; distingue entre el elemento y la inclusión de clases.

b) George Boole: Público la obra “las leyes del pensamiento”, en donde tomó como base las leyes del Álgebra, pero las aplicó al pensamiento. Establece la primera formulación de lógica simbólica.

c) Friedrich Ludwig Gottlob Frege: Publicó su conceptografía, en donde consigue la elaboración de un cálculo lógico perfecto, con escritura artificial original, que permite la formalización de la lógica elemental. Establece formalmente la Tabla de la Verdad, desarrolla rigurosamente la aritmética mediante la lógica simbólica; investiga las relaciones lógicas necesarias para la fundamentación de la Aritmética desenvuelve la lógica de clases: formula la implicación material.

d) Bertrand Rusell: Descubrió en la teoría de conjuntos varias paradojas que resolvió mediante la teoría de los tipos; años más tarde establecería una teoría similar, la de la jerarquía de los lenguajes, para eliminar las paradojas semánticas. Se propuso fundamentar y axiomatizar la matemática a partir de conceptos lógicos. Este empeño culminó con la publicación ''Principia Mathematica'' (en colaboración con Whitehead), obra que, además, sentaba las bases de la moderna lógica formal.

e) David Hilbert: Publicó en 1899 su obra ''Fundamentos de Geometría'', en la que formuló sus principios de axiomatización. Su concepción reconocía tres sistemas de entes geométricos (puntos, rectas y planos) a los que podían aplicarse axiomas distribuidos en cinco diferentes categorías: pertenencia, orden, igualdad o congruencia, paralelismo y continuidad.  

f) Augustus De Morgan: Formuló de las leyes de Morgan, y su trabajo fundamenta la teoría del desarrollo de las relaciones y la lógica matemática.

g) Kurt Gödel:  Demostró la consistencia de la hipótesis cantoriana del continuo, el teorema y la prueba de incompletez semántica. En ''Sobre las proposiciones indecidibles…'' establece que es imposible construir un sistema de cálculo lógico en el que todos sus teoremas y enunciados sean decidibles dentro del sistema. Demostró definitivamente que era imposible llevar a cabo el programa de la axiomatización, propugnado por Hilbert y otros. Siempre habrá enunciados que no son demostrables ni refutables. Para probar esta aserción se sirvió de la matematización de la sintaxis lógica.

h) Georg F. Cantor: Se debe la idea del ''infinito continuo'', es decir, la posibilidad de considerar conjuntos infinitos dados simultáneamente. Se le considera el creador de la teoría de los números irracionales y de los conjuntos.

i) Gentzen: Formuló la prueba de la consistencia de un sistema de aritmética clásica, en el cual el método no elemental es una extensión de inducción matemática a partir de una secuencia de números naturales a un cierto segmento de números ordinales transfinitos.

2.- ¿Cuáles son las aplicaciones de la lógica Matemática?

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