Algebra Lineal Función total

Erika Párraga Cevallos

Algebra Lineal

Función total

El concepto de función es una de las ideas fundamentales en matemáticas. Casi cualquier estudio que se refiera a la aplicación de las matemáticas a problemas prácticos, o que requiera el análisis de datos empíricos, emplea este concepto matemático.

Con frecuencia, en las aplicaciones prácticas en los diferentes campos el valor de una variable depende del valor de otra. Por ejemplo, el salario de una persona puede depender del número  de horas que trabaje; la producción  total de una fábrica puede depender del número de máquinas que se utilicen: la distancia recorrida por un objeto puede depender del tiempo transcurrido desde que salió de un punto específico; el volumen del espacio ocupado por un gas a presión constante depende de la temperatura; la resistencia de un cable eléctrico de longitud fija depende de su diámetro; etc. La relación entre este tipo de cantidades suele expresarse mediante una función.

Definición formal de función.

Una relación de A en B es una función si y solo si el dominio de la relación es todo el conjunto de partida, y si a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento en el rango. Simbólicamente, esta definición se representa por:

1. dominio f=A

[pic 1]

Dónde:

X es la variable independiente

Y variable dependiente.

De acuerdo a las características y cardinalidad de los conjuntos de partida y de llegada las funciones se clasifican en: Inyectivas, sobreyectivas y biyecivas.

Las funciones se pueden representar mediante el uso de planos cartesianos o diagramas sagitales

Ejemplo de función y su representación gráfica en un diagrama sagital.

A= {Guayas, El Oro, Los Ríos}

B= {Machala, Guayaquil, Babahoyo}

f: A→B, “y es capital de x”

f: {{Guayas, Guayaquil), (El Oro, Machala), (Los Ríos, Babahoyo)}

                                                  f

               A                                                                         B[pic 2]

[pic 3][pic 4]

[pic 5][pic 6]

[pic 7]

Dominio f= A

Rango f = B

 f es biyectiva

Representación grafica en el plano de una función poli nómica de segundo grado, con la prueba de la recta vertical.

[pic 8]

[pic 9]

Diferencial total.

En  numerosos problemas donde aparecen funciones de dos variables, el objetivo es hallar la rapidez de cambio de la función con respecto a una de las variables, cuando la otra se mantiene constante. Esto es el objetivo es derivar la función con respecto a la variable particular en cuestión mientras se mantiene constante la otra variable. Este proceso se conoce como derivación parcial, y se dice que la derivada resultante es una derivada parcial de la función.  

Definicion general de derivada parcial y total.

Sea:

. La derivada parcial de f con respecto a x se denota por.[pic 10]

[pic 11]

Y es la funcion obtenida al derivar f con respecto a x, tratando a y como una constante. La derivada parcial de f con respecto a y se denota por.

[pic 12]

Y es la funcion obtenida al derivar f con respecto a y, tratando a x como constante

Por lo tanto la diferencial total de la variable dependiente z esta dado por.

[pic 13]

Esta definicion se extiende de manera obvia a funciones de tres o mas variables.

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